Resolver Ecuaciones Lineales con Multiplicación y División

Una ecuación lineal es una igualdad donde la variable aparece elevada solo a la primera potencia, como \(3x = 12\) o \(\dfrac{x}{5} = 2\). Cuando el coeficiente de la variable no es 1, necesitamos usar las operaciones inversas de la multiplicación y la división para "despejar" la variable, es decir, dejarla sola en un lado de la ecuación. Si aún no conoces los conceptos básicos de estas ecuaciones, puedes repasar la Introducción a ecuaciones lineales antes de continuar con este método.

Cuando la variable está multiplicada por un número, como en \(3x = 12\), dividimos ambos lados de la ecuación entre ese mismo número para dejar la variable sola:

\( \dfrac{3x}{3} = \dfrac{12}{3} \)

\( x = 4 \)

La regla general es: si \(ax = b\) y \(a \ne 0\), entonces \( x = \dfrac{b}{a} \). Esta propiedad funciona porque dividir ambos lados entre el mismo número distinto de cero mantiene la igualdad.

Cuando la variable está dividida entre un número, como en \(\dfrac{x}{5} = 2\), multiplicamos ambos lados por ese mismo número para eliminar la fracción:

\( \dfrac{x}{5} \times 5 = 2 \times 5 \)

\( x = 10 \)

La regla general es: si \( \dfrac{x}{a} = b \) y \(a \ne 0\), entonces \( x = a \times b \).

Modelo visual: la balanza

Ejemplo 1: Resuelve \(-5x = 20\).

Dividimos ambos lados entre \(-5\): \( x = \dfrac{20}{-5} = -4 \). Un coeficiente negativo con un lado derecho positivo produce una solución negativa.

Ejemplo 2: Resuelve \(\dfrac{x}{4} = 7\).

Multiplicamos ambos lados por 4: \( x = 7 \times 4 = 28 \).

Ejemplo 3: Resuelve \(2.5x = 10\).

Dividimos ambos lados entre \(2.5\): \( x = \dfrac{10}{2.5} = 4 \).

Otra forma de comprobar una solución es pensar en la ecuación como una función. Por ejemplo, \(4x = 12\) equivale a encontrar dónde la recta \(y = 4x - 12\) cruza el eje \(x\). El punto donde la recta toca el eje horizontal es exactamente la solución de la ecuación.

• Olvidar aplicar la misma operación a ambos lados de la ecuación.
• Confundir cuándo multiplicar y cuándo dividir: si la variable está multiplicada, se divide; si está dividida, se multiplica.
• Perder el signo negativo al dividir entre un número negativo.
• Aplicar estas mismas reglas a una ecuación con la variable elevada a una potencia distinta de 1, lo cual corresponde a las ecuaciones no lineales y requiere otros métodos.

Algunas situaciones donde una variable queda igualada directamente a un número, como \(x = k\), aparecen también en el estudio de las líneas verticales de ecuaciones lineales, donde despejar la variable involucra el mismo tipo de razonamiento con división.

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