Relación entre los interceptos x e y

Cuando trabajamos con la gráfica de una recta, dos puntos son especialmente útiles: el lugar donde la recta cruza el eje \(x\) y el lugar donde cruza el eje \(y\). Estos puntos se llaman intercepto x e intercepto y, y no son independientes entre sí: ambos provienen de la misma ecuación y, juntos, describen por completo cómo se comporta la recta cerca de los ejes. En esta lección veremos qué representa cada intercepto, cómo calcularlos y cómo se relacionan uno con el otro.

El intercepto x es el punto donde la gráfica cruza el eje horizontal. En ese punto, la coordenada \(y\) siempre vale cero, así que el intercepto x tiene la forma \((a, 0)\).

El intercepto y es el punto donde la gráfica cruza el eje vertical. Ahí, la coordenada \(x\) siempre vale cero, así que el intercepto y tiene la forma \((0, b)\).

Dicho de otra manera: para encontrar el intercepto x, sustituimos \(y = 0\) en la ecuación y despejamos \(x\); para encontrar el intercepto y, sustituimos \(x = 0\) y despejamos \(y\). Este proceso de "apagar" una variable para ver qué pasa con la otra es la base de la relación entre dos variables en cualquier ecuación de dos incógnitas.

Consideremos la recta \(2x + 3y = 6\).

Paso 1: intercepto x. Sustituimos \(y = 0\):

\(2x + 3(0) = 6\)

\(2x = 6\)

\(x = 3\)

El intercepto x es \((3, 0)\).

Paso 2: intercepto y. Sustituimos \(x = 0\):

\(2(0) + 3y = 6\)

\(3y = 6\)

\(y = 2\)

El intercepto y es \((0, 2)\).

Con estos dos puntos ya podemos trazar la gráfica de la recta sin necesidad de construir una tabla de valores completa: basta marcar \((3, 0)\) y \((0, 2)\) y unirlos con una línea recta.

Los dos interceptos no son datos sueltos: provienen de la misma constante \(c\) en la ecuación general \(ax + by = c\). De hecho, si dividimos toda la ecuación entre \(c\), obtenemos la llamada forma de intercepto de la recta:

\(\dfrac{x}{a'} + \dfrac{y}{b'} = 1\)

donde \(a'\) es exactamente el intercepto x y \(b'\) es exactamente el intercepto y. Esta forma muestra de manera directa cómo ambos interceptos aparecen dentro de la misma ecuación, en lugar de ser dos cálculos separados.

Esta relación también nos conecta con la pendiente de la recta. Como la pendiente mide el cambio de \(y\) entre el cambio de \(x\) al pasar de un intercepto al otro, se cumple que:

\(m = \dfrac{0 - b}{a - 0} = -\dfrac{b}{a}\)

Es decir, la pendiente de una recta es siempre el intercepto y dividido entre el intercepto x, con signo negativo. En nuestro ejemplo, \(a = 3\) y \(b = 2\), así que la pendiente es \(m = -\dfrac{2}{3}\), lo cual coincide con lo que obtendríamos despejando \(y\) en la ecuación original.

Un caso especial vale la pena mencionarlo: cuando una recta representa una variación directa, es decir \(y = kx\), ambos interceptos colapsan en el mismo punto, el origen \((0, 0)\). En ese caso no hay dos interceptos distintos que relacionar, porque la recta pasa exactamente por donde se cruzan los ejes.

No todas las gráficas son rectas. Por ejemplo, la parábola \(y = x^2 - 4\) tiene un solo intercepto y, en \((0, -4)\), pero dos interceptos x, en \((-2, 0)\) y \((2, 0)\), porque la ecuación \(x^2 - 4 = 0\) tiene dos soluciones. Aquí la relación cambia un poco: el intercepto y sigue siendo el valor de la función cuando \(x = 0\), pero puede haber tantos interceptos x como raíces reales tenga la ecuación. Este comportamiento se entiende mejor si primero se domina el concepto de dominio y rango de una función, ya que los interceptos x solo existen dentro del dominio donde la función está definida.

El intercepto x se encuentra haciendo \(y = 0\) y el intercepto y se encuentra haciendo \(x = 0\); ambos provienen de la misma ecuación, por lo que están directamente relacionados a través de la forma de intercepto y de la pendiente \(m = -\dfrac{b}{a}\). Conocer los dos interceptos es, casi siempre, la forma más rápida de graficar una recta sin construir una tabla de valores.

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