Función Cuadrática en Forma Canónica

La forma canónica (también llamada forma de vértice) de una función cuadrática se escribe como \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), donde \(a\), \(h\) y \(k\) son números reales y \(a \ne 0\). Esta forma es muy útil porque muestra de inmediato el vértice de la parábola, sin necesidad de hacer cálculos adicionales.

En la ecuación \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), el vértice de la parábola es el punto \( (h, k) \). Ten cuidado con el signo dentro del paréntesis: como la expresión es \( x - h \), si la ecuación muestra \( x + 3 \), en realidad \( h = -3 \). El eje de simetría es la recta vertical \( x = h \), que divide la parábola en dos mitades idénticas.

El valor de \(a\) controla la abertura y la dirección de la parábola. Si \( a > 0 \), la parábola abre hacia arriba y \(k\) es el valor mínimo de la función. Si \( a < 0 \), abre hacia abajo y \(k\) es el valor máximo. Cuanto mayor es el valor absoluto de \(a\), más angosta se ve la parábola; cuanto más cercano a cero, más ancha.

Para trazar la gráfica basta con seguir estos pasos:

1. Identifica \(a\), \(h\) y \(k\) directamente en la ecuación.
2. Marca el vértice \( (h, k) \) en el plano.
3. Dibuja el eje de simetría \( x = h \) como referencia.
4. Calcula uno o dos puntos adicionales sustituyendo valores de \(x\) cercanos a \(h\), y usa la simetría para reflejar esos puntos al otro lado del eje.

Ejemplo resuelto

Considera la función \( f(x) = 2(x - 3)^2 - 4 \). Aquí \( a = 2 \), \( h = 3 \) y \( k = -4 \), por lo que el vértice es \( (3, -4) \) y el eje de simetría es \( x = 3 \). Como \( a > 0 \), la parábola abre hacia arriba y \(-4\) es el valor mínimo de la función.

Si evaluamos en \( x = 4 \): \( f(4) = 2(4-3)^2 - 4 = 2(1) - 4 = -2 \). Por simetría, en \( x = 2 \) el valor también es \( -2 \).

La forma canónica no es la única manera de escribir una función cuadrática. También existe la forma polinómica de una función cuadrática, escrita como \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Para pasar de la forma general a la canónica se completa el cuadrado, agrupando los términos con \(x\) y sumando y restando el mismo valor para formar un trinomio cuadrado perfecto. El resultado siempre coincide: el mismo valor de \(a\), y \( h = -\dfrac{b}{2a} \).

Cuando un problema pide el valor máximo o mínimo de una función cuadrática, el vértice o el eje de simetría, la forma canónica ahorra pasos porque esa información ya está a la vista. Además, facilita comparar transformaciones: desplazamientos horizontales controlados por \(h\), desplazamientos verticales controlados por \(k\), y estiramientos o reflexiones controlados por \(a\). Para repasar otros rasgos importantes, como el dominio, el rango y los interceptos, consulta las características de las funciones cuadráticas.

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