Variación Inversa

La variación inversa describe una relación entre dos variables en la que, al aumentar una, la otra disminuye de forma proporcional, y viceversa. Esto ocurre siempre que el producto de las dos variables permanece constante. Es lo opuesto a la variación directa, donde ambas variables aumentan o disminuyen juntas en la misma proporción.

Un ejemplo cotidiano es la relación entre la velocidad y el tiempo que se tarda en recorrer una distancia fija: si la velocidad aumenta, el tiempo necesario disminuye.

Cuando \( y \) varía inversamente con \( x \), la relación se escribe como:

\( y = \dfrac{k}{x} \)

donde \( k \) es la constante de variación (también llamada constante de proporcionalidad) y \( k \ne 0 \). Esta misma relación también puede escribirse como \( xy = k \), lo que deja ver con más claridad que el producto de ambas variables nunca cambia.

Esta forma de relacionar dos cantidades es un caso particular de lo que se estudia de manera más general en la relación entre dos variables.

Para encontrar \( k \), basta con conocer un par de valores correspondientes de \( x \) y \( y \), y multiplicarlos.

Ejemplo 1. Si \( y \) varía inversamente con \( x \), y \( y = 4 \) cuando \( x = 3 \), encuentra \( k \) y escribe la ecuación de variación.

Se multiplica: \( k = xy = 3 \times 4 = 12 \). Entonces la ecuación queda como \( y = \dfrac{12}{x} \).

Ejemplo 2. Usando la misma ecuación, ¿cuál es el valor de \( y \) cuando \( x = 2 \)?

Se sustituye directamente: \( y = \dfrac{12}{2} = 6 \). Así, cuando \( x \) vale 2, \( y \) vale 6.

La gráfica de \( y = \dfrac{k}{x} \) es una curva llamada hipérbola. Nunca toca el eje \( x \) ni el eje \( y \), porque \( x \) no puede ser 0 (la división entre 0 no está definida) y \( y \) nunca llega a valer 0. Observa cómo se comporta la curva para \( k = 12 \):

Nota que a medida que \( x \) crece, \( y \) se hace cada vez más pequeño, y cuando \( x \) se acerca a 0, \( y \) crece sin límite. Este comportamiento del dominio y el rango de la función se relaciona con lo que se explica en dominio y rango de una función.

Un problema describe variación inversa cuando el texto usa frases como "varía inversamente con", "es inversamente proporcional a" o cuando, al comparar los datos, notas que el producto \( xy \) siempre da el mismo resultado. Si en cambio el cociente \( \dfrac{y}{x} \) es constante, se trata de variación directa en lugar de inversa.

Ejemplo 3. El tiempo \( t \) que tarda un grupo de trabajadores en terminar una tarea varía inversamente con el número de trabajadores \( n \). Si 4 trabajadores terminan la tarea en 9 horas, ¿cuánto tardarían 6 trabajadores?

Primero se halla \( k \): \( k = n \times t = 4 \times 9 = 36 \). La ecuación es \( t = \dfrac{36}{n} \). Ahora se sustituye \( n = 6 \): \( t = \dfrac{36}{6} = 6 \). Con 6 trabajadores, la tarea se completaría en 6 horas.

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