Intersección y Unión de 3 Conjuntos

Cuando trabajamos con tres conjuntos, digamos \(A\), \(B\) y \(C\), podemos combinarlos de dos maneras principales: mediante la unión \( A \cup B \cup C \), que reúne todos los elementos que aparecen en al menos uno de los tres conjuntos, o mediante la intersección \( A \cap B \cap C \), que contiene únicamente los elementos presentes en los tres conjuntos a la vez.

Estas operaciones son una extensión natural de la intersección y unión de 2 conjuntos, pero al agregar un tercer conjunto aparecen más combinaciones posibles: elementos que están solo en un conjunto, elementos compartidos por exactamente dos, y elementos que pertenecen a los tres a la vez. Antes de continuar conviene repasar la notación de conjuntos por extensión y la notación de conjuntos por comprensión, ya que se usan constantemente para describir estas regiones.

El diagrama de Venn de tres conjuntos usa tres círculos superpuestos. Cada círculo representa un conjunto, y las zonas donde se cruzan muestran los elementos compartidos. En total hay siete regiones distintas: tres donde solo aparece un conjunto, tres donde se cruzan exactamente dos conjuntos, y una región central donde se cruzan los tres.

Consideremos estos tres conjuntos:

\( A = \{1, 2, 3, 4\} \), \( B = \{3, 4, 5, 6\} \), \( C = \{4, 6, 7, 8\} \)

Observando el diagrama: el número 4 aparece en los tres círculos, así que \( A \cap B \cap C = \{4\} \). El número 3 aparece solo en \(A\) y \(B\), el número 6 aparece solo en \(B\) y \(C\), y no hay ningún elemento que esté solo en \(A\) y \(C\) al mismo tiempo (por eso se marca con el conjunto vacío).

Para hallar \( A \cup B \cup C \) se reúnen todos los elementos de los tres conjuntos, escribiendo cada elemento una sola vez aunque se repita en varios conjuntos:

\( A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \)

Fíjate que aunque el 4 aparece en los tres conjuntos originales, en la unión se escribe una sola vez.

Para hallar \( A \cap B \cap C \) se buscan únicamente los elementos que están presentes en los tres conjuntos simultáneamente:

\( A \cap B \cap C = \{4\} \)

También conviene calcular las intersecciones parciales entre pares de conjuntos: \( A \cap B = \{3, 4\} \), \( A \cap C = \{4\} \) y \( B \cap C = \{4, 6\} \). Estas intersecciones de dos conjuntos son las mismas que estudiaste al comparar solo un par de conjuntos.

Cuando solo interesa contar cuántos elementos tiene la unión, sin necesidad de listarlos todos, se usa el principio de inclusión-exclusión, que evita contar dos veces los elementos compartidos:

\( |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \)

Con el ejemplo anterior: \( |A| = 4 \), \( |B| = 4 \), \( |C| = 4 \), \( |A \cap B| = 2 \), \( |A \cap C| = 1 \), \( |B \cap C| = 2 \) y \( |A \cap B \cap C| = 1 \). Sustituyendo:

\( |A \cup B \cup C| = 4 + 4 + 4 - 2 - 1 - 2 + 1 = 8 \)

El resultado coincide con contar directamente los ocho elementos de \( A \cup B \cup C = \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \), lo que confirma que la fórmula funciona incluso sin dibujar el diagrama.

Sean \( X = \{a, b, c, d\} \), \( Y = \{b, c, e, f\} \) y \( Z = \{c, d, f, g\} \). Encuentra \( X \cup Y \cup Z \) y \( X \cap Y \cap Z \).

Paso 1. Localiza los elementos que se repiten en los tres conjuntos: solo \(c\) aparece en \(X\), \(Y\) y \(Z\), por lo que \( X \cap Y \cap Z = \{c\} \).

Paso 2. Reúne todos los elementos distintos de los tres conjuntos para formar la unión: \( X \cup Y \cup Z = \{a, b, c, d, e, f, g\} \).

Paso 3. Verifica el resultado contando los elementos distintos de la unión (son 7) y, si quieres comprobarlo, aplica la fórmula de inclusión-exclusión con los tamaños de cada conjunto y de sus intersecciones.

Un error frecuente es confundir la intersección de tres conjuntos con la intersección de solo dos de ellos: un elemento debe aparecer en los tres conjuntos para pertenecer a \( A \cap B \cap C \), no basta con que esté en dos. Otro error común es contar dos veces un elemento repetido dentro de la unión; recuerda que cada elemento se escribe una sola vez en \( A \cup B \cup C \), sin importar en cuántos conjuntos originales aparezca.

Related lessons

• Es Algebra Help