Graficación de Recíprocas de Funciones Cuadráticas
Explica como construir la grafica de la funcion reciproca de una cuadratica a partir de sus raices y su vertice, identificando asintotas verticales, la asintota horizontal en y igual a cero, y la forma de las ramas resultantes con ejemplos resueltos.
Introduction
La recíproca de una función cuadrática se obtiene invirtiendo la expresión: si \( f(x) = ax^2 + bx + c \), entonces su recíproca es \( g(x) = \dfrac{1}{f(x)} \). Aunque la fórmula parece pequeña, el comportamiento de la gráfica cambia por completo respecto a la parábola original, y entender ese cambio es la clave de este tema.
Qué controla la forma de la gráfica
Para graficar \( g(x) = \dfrac{1}{f(x)} \) hay que fijarse en tres cosas de la cuadrática \( f(x) \):
Sus raíces (dónde \( f(x) = 0 \)): ahí \( g(x) \) no está definida y aparece una asíntota vertical.
Su signo en cada intervalo: donde \( f(x) \) es positiva, \( g(x) \) también es positiva, y donde \( f(x) \) es negativa, \( g(x) \) también lo es.
Su vértice: el valor extremo de \( f(x) \) se convierte en el valor extremo (máximo o mínimo local) de \( g(x) \) en ese intervalo.
Además, cuando \( x \) crece o decrece mucho, \( f(x) \) se vuelve muy grande en valor absoluto, así que \( \dfrac{1}{f(x)} \) se acerca a cero. Por eso toda recíproca cuadrática tiene la misma asíntota horizontal: \( y = 0 \).
Caso 1: la cuadrática tiene dos raíces reales
Toma \( f(x) = x^2 - 4 \), cuyas raíces son \( x = -2 \) y \( x = 2 \). La recíproca es \( g(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4} \) y tiene dos asíntotas verticales, en \( x = -2 \) y \( x = 2 \), además de la asíntota horizontal \( y = 0 \).
El vértice de \( f(x) \) está en \( (0, -4) \), así que en el intervalo entre las dos raíces, \( g(0) = \dfrac{1}{-4} = -\dfrac{1}{4} \), y ese es el valor máximo local de la rama central (porque ahí \( f(x) \) es negativa y toma su valor más cercano a cero). En las dos ramas exteriores, \( f(x) \) es positiva y crece sin límite, por lo que \( g(x) \) se acerca a cero por arriba.
Gráfica de \( g(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4} \), con asíntotas verticales en \( x = -2 \) y \( x = 2 \).
Caso 2: la cuadrática no tiene raíces reales
Ahora toma \( f(x) = x^2 + 1 \). Su discriminante es negativo, así que no hay raíces reales y \( f(x) \) nunca vale cero: por eso su recíproca \( g(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} \) no tiene asíntotas verticales y forma una sola curva continua y siempre positiva.
El vértice de \( f(x) \) está en \( (0, 1) \), que es su valor mínimo. Ese mínimo se convierte en el valor máximo de la recíproca: \( g(0) = \dfrac{1}{1} = 1 \). A medida que \( x \) se aleja de cero en cualquier dirección, \( g(x) \) desciende suavemente hacia la asíntota horizontal \( y = 0 \), sin cruzarla nunca.
Gráfica de \( g(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} \), una curva suave sin asíntotas verticales.
Comparación con la recíproca de una función lineal
Este mismo principio, buscar dónde el denominador se anula para ubicar asíntotas verticales, es el que se usa al graficar recíprocos de funciones lineales, con la diferencia de que una recta solo tiene una raíz (y por tanto una sola asíntota vertical), mientras que una cuadrática puede tener cero, una o dos raíces reales, lo que da lugar a los distintos casos que acabas de ver.
Pasos para graficar cualquier recíproca cuadrática
Encuentra las raíces de \( f(x) \) resolviendo \( f(x) = 0 \) (si existen).
Traza las asíntotas verticales en esas raíces y la asíntota horizontal en \( y = 0 \).
Halla el vértice de \( f(x) \) y calcula su recíproco para obtener el extremo local de \( g(x) \).
Estudia el signo de \( f(x) \) en cada intervalo para saber si la rama de \( g(x) \) queda por encima o por debajo del eje x.
Dibuja cada rama acercándose a las asíntotas correspondientes sin tocarlas.
Errores comunes
Un error frecuente es olvidar que el signo de \( f(x) \) determina el signo de \( g(x) \): si la parábola abre hacia arriba y tiene dos raíces, la rama central de la recíproca queda por debajo del eje x, no por arriba. Otro error es intentar marcar un punto de la recíproca exactamente sobre una asíntota vertical, algo que nunca ocurre porque la función no está definida ahí.