Cómo Factorizar Polinomios x al cuadrado + bx + c

Factorizar un polinomio de la forma \( x^2 + bx + c \) significa reescribirlo como el producto de dos binomios más simples. Este tipo de trinomio se llama "cuadrático" porque el término de mayor grado es \( x^2 \), y su coeficiente principal es igual a 1. Antes de factorizar trinomios como estos, es útil dominar la factorización por factores comunes, ya que a veces conviene sacar un factor común antes de aplicar el método que veremos aquí.

El objetivo es encontrar dos números, que llamaremos \( p \) y \( q \), tales que:

\( p \times q = c \)    y    \( p + q = b \)

Una vez encontrados esos números, el trinomio se factoriza como:

\( x^2 + bx + c = (x + p)(x + q) \)

Sigue estos pasos para factorizar cualquier trinomio de esta forma:

1. Identifica los valores de \( b \) y \( c \) en el trinomio.

2. Lista las parejas de números enteros cuyo producto sea \( c \).

3. De esas parejas, elige la que sume exactamente \( b \).

4. Escribe el trinomio factorizado como \( (x + p)(x + q) \).

5. Comprueba el resultado multiplicando los binomios para verificar que se obtiene el trinomio original.

Factoriza \( x^2 - 5x + 6 \).

Aquí \( b = -5 \) y \( c = 6 \). Necesitamos dos números cuyo producto sea 6 y cuya suma sea -5. Probamos las parejas de factores de 6: (1, 6), (2, 3), (-1, -6) y (-2, -3).

La pareja \( -2 \) y \( -3 \) cumple ambas condiciones, porque \( (-2)(-3) = 6 \) y \( (-2) + (-3) = -5 \).

Por lo tanto: \( x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \)

La gráfica de \( y = x^2 - 5x + 6 \) muestra que la parábola cruza el eje \( x \) exactamente en esos dos valores, que corresponden a las raíces del polinomio factorizado.

Los signos de \( b \) y \( c \) te dan pistas rápidas sobre los signos de \( p \) y \( q \):

Signo de c	Signo de b	Signos de p y q
Positivo	Positivo	Ambos positivos
Positivo	Negativo	Ambos negativos
Negativo	Cualquiera	Uno positivo y uno negativo

Por ejemplo, si \( c \) es negativo, siempre uno de los dos números será positivo y el otro negativo, sin importar el signo de \( b \). Esto reduce a la mitad las parejas que necesitas probar.

Factoriza \( x^2 + x - 12 \).

Aquí \( b = 1 \) y \( c = -12 \). Buscamos dos números cuyo producto sea -12 y cuya suma sea 1. Probando parejas: 4 y -3 funcionan, porque \( 4 \times (-3) = -12 \) y \( 4 + (-3) = 1 \).

Entonces: \( x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3) \)

Siempre puedes verificar tu factorización multiplicando los binomios usando la propiedad distributiva. Para \( (x - 2)(x - 3) \):

\( (x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6 \)

Como el resultado coincide con el trinomio original, la factorización es correcta.

Ten cuidado con estos errores frecuentes:

1. Elegir números cuyo producto sea correcto pero cuya suma no coincida con \( b \) (o viceversa).

2. Olvidar el signo negativo al distribuir en la comprobación.

3. No revisar si existe un factor común antes de aplicar el método por tanteo.

Cuando el trinomio tiene más de dos términos agrupados o no factoriza fácilmente por tanteo, otra estrategia útil es la factorización por agrupación. Además, una vez que domines este método, podrás aplicarlo a problemas de contexto real en las aplicaciones de factorización de polinomios.

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