Crecimiento y Decrecimiento Continuo

Hasta ahora, muchos modelos exponenciales que has visto crecen o decrecen en pasos: cada dia, cada año o cada periodo, la cantidad se multiplica por un factor fijo. El crecimiento y decrecimiento continuo describe algo distinto: una cantidad que cambia en todo instante, sin esperar a que termine un periodo. Este comportamiento aparece en el interes compuesto de forma continua, en el crecimiento de poblaciones y en la desintegracion radiactiva, y se modela siempre con el numero \( e \), la base de los logaritmos naturales.

El modelo de crecimiento o decrecimiento continuo se escribe como:

\( A(t) = Pe^{rt} \)

donde \( P \) es la cantidad inicial (cuando \( t = 0 \)), \( r \) es la tasa de crecimiento continuo, \( t \) es el tiempo transcurrido y \( A(t) \) es la cantidad resultante despues de ese tiempo. Cuando \( r > 0 \) la cantidad crece sin limite, y cuando \( r < 0 \) la cantidad decrece acercandose a cero, pero nunca llega a ser negativa.

Si divides un año en \( n \) periodos de capitalizacion, el valor final de una inversion es \( A = P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt} \). Este es el mismo tipo de modelo que se estudia al crecer o decrecer por porcentaje en pasos discretos. Si dejas que \( n \) crezca sin limite, es decir, que la capitalizacion ocurra en cada instante, se puede demostrar que:

\( \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n} = e^{r} \)

y por lo tanto \( A(t) = Pe^{rt} \). Esta es la razon por la que el numero \( e \) aparece de forma natural en todos los procesos de cambio continuo, a diferencia de los modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial por un factor, que usan una base distinta de \( e \).

Una cuenta comienza con \( P = 500 \) dolares y crece de forma continua con una tasa \( r = 0.08 \) (8 por ciento anual). El monto despues de \( t \) años es \( A(t) = 500e^{0.08t} \). Despues de 10 años:

\( A(10) = 500e^{0.08 \times 10} = 500e^{0.8} \approx 1112.77 \)

El monto crece de manera suave en todo momento, no solo al final de cada año, como se observa en la siguiente grafica.

Una muestra radiactiva tiene una cantidad inicial \( P = 100 \) gramos y decae de forma continua con una tasa \( r = -0.15 \). La cantidad restante despues de \( t \) años es \( A(t) = 100e^{-0.15t} \). Despues de 10 años:

\( A(10) = 100e^{-0.15 \times 10} = 100e^{-1.5} \approx 22.31 \)

Este tipo de decrecimiento continuo esta directamente relacionado con el concepto de vida media, que indica cuanto tiempo tarda una cantidad en reducirse a la mitad usando la misma tasa continua \( r \).

Un problema describe crecimiento o decrecimiento continuo cuando menciona una tasa que actua en todo instante, como una tasa de interes continua, una tasa de crecimiento poblacional instantanea o una constante de decaimiento radiactivo. Si en cambio el problema da un porcentaje o un factor que se aplica una vez por periodo (por dia, por año, por generacion), entonces conviene usar los modelos discretos en vez de la formula con \( e^{rt} \).

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