Aplicaciones de Ecuaciones Cuadráticas

Muchas situaciones de la vida real (áreas de terrenos, objetos lanzados al aire, ingresos de un negocio o relaciones entre números) se pueden describir con una ecuación de la forma \( ax^2 + bx + c = 0 \). Resolver estos problemas no es distinto a resolver cualquier ecuación cuadrática: la diferencia está en traducir el enunciado en palabras a una ecuación y, después, interpretar la solución dentro del contexto del problema.

1. Lee el problema con cuidado e identifica qué cantidad desconocida representarás con una variable, por ejemplo \( x \).
2. Traduce las relaciones del enunciado en una ecuación cuadrática.
3. Resuelve la ecuación por factorización, completando el cuadrado o con la fórmula cuadrática, según sea más conveniente.
4. Revisa cada solución obtenida: en un problema real, una longitud negativa o un tiempo negativo casi nunca tiene sentido.
5. Responde la pregunta original con las unidades correctas.

Si no estás seguro de cuál técnica usar, repasa cómo resolver ecuaciones cuadráticas por factorización y cómo usar la fórmula cuadrática antes de continuar con los siguientes ejemplos.

El área de un jardín rectangular es de 60 metros cuadrados. El largo mide 4 metros más que el ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del jardín?

Si el ancho es \( x \), el largo es \( x + 4 \), y el área es el producto de ambos lados:

\( x(x+4) = 60 \)

\( x^2 + 4x - 60 = 0 \)

Esta ecuación factoriza como \( (x+10)(x-6) = 0 \), lo que da \( x = -10 \) o \( x = 6 \). Como una longitud no puede ser negativa, se descarta \( x = -10 \). Entonces el ancho es 6 metros y el largo es \( 6 + 4 = 10 \) metros.

Se lanza una pelota hacia arriba desde una altura inicial de 1 metro, con una velocidad tal que su altura en metros después de \( t \) segundos está dada por \( h(t) = -5t^2 + 20t + 1 \). ¿Cuándo alcanza su altura máxima y cuándo cae al suelo?

El vértice de la parábola indica el instante de altura máxima: \( t = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-20}{2(-5)} = 2 \) segundos, con una altura de 21 metros. Para saber cuándo la pelota toca el suelo, se resuelve \( -5t^2 + 20t + 1 = 0 \) con la fórmula cuadrática \( t = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \), lo que da un tiempo positivo cercano a 4.05 segundos (la otra raíz es negativa y se descarta porque el tiempo no puede ser negativo).

La suma de un número y su cuadrado es 42. ¿Cuál es ese número?

Si el número es \( x \), la ecuación es \( x + x^2 = 42 \), es decir \( x^2 + x - 42 = 0 \). Factorizando se obtiene \( (x+7)(x-6) = 0 \), por lo que \( x = -7 \) o \( x = 6 \). A diferencia de los problemas de área o tiempo, aquí ambos valores son soluciones válidas, ya que el problema no restringe el signo del número.

No todas las ecuaciones cuadráticas que aparecen en un problema de aplicación se factorizan fácilmente. Antes de resolver, puedes revisar el discriminante \( b^2-4ac \) para saber si existen soluciones reales; consulta la naturaleza de las raíces y el discriminante para entender qué significa cada caso. Si la ecuación no factoriza con números enteros, la fórmula cuadrática siempre funciona, aunque completar el cuadrado también es una alternativa útil cuando el coeficiente principal es 1.

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