Suma de Funciones

Sumar funciones es una operacion que combina dos funciones, \(f(x)\) y \(g(x)\), para crear una nueva funcion. Esta nueva funcion se escribe como \((f+g)(x)\) y se define con la regla:

\( (f+g)(x) = f(x) + g(x) \)

En otras palabras, para cada valor de \(x\), simplemente se suman los resultados de evaluar cada funcion por separado. Esta idea es parecida a la de la relacion entre dos variables, pero ahora se trabaja con dos reglas de correspondencia distintas al mismo tiempo.

Supongamos que se conocen los valores \(f(2) = 5\) y \(g(2) = 3\). Para encontrar \((f+g)(2)\), solo se suman esos dos resultados:

\( (f+g)(2) = f(2) + g(2) = 5 + 3 = 8 \)

Este tipo de calculo aparece con frecuencia cuando las funciones se presentan mediante tablas de valores en lugar de una formula algebraica.

Cuando \(f(x)\) y \(g(x)\) estan dadas como expresiones algebraicas, se sustituyen ambas en la regla \( (f+g)(x) = f(x) + g(x) \) y luego se simplifica combinando terminos semejantes.

Ejemplo: si \( f(x) = x^2 + 2x \) y \( g(x) = 3x - 1 \), entonces:

\( (f+g)(x) = (x^2 + 2x) + (3x - 1) \)

\( (f+g)(x) = x^2 + 5x - 1 \)

Observa que los terminos \(2x\) y \(3x\) se combinaron porque son terminos semejantes. Este proceso de agrupar y simplificar es el mismo que se usa al trabajar con la notacion de funciones en otros contextos.

El dominio de \( (f+g)(x) \) no siempre es igual al dominio de \(f\) ni al de \(g\) por separado. La regla general es que el dominio de la suma es la interseccion (los valores en comun) de los dominios de ambas funciones:

Si \(f\) esta definida para todo \(x\) donde \(x \ge 0\), y \(g\) esta definida para todo \(x\), entonces \( (f+g)(x) \) solo estara definida donde \(x \ge 0\), porque ahi es donde ambas funciones tienen sentido a la vez. Para repasar como identificar estos dominios de forma general, revisa la leccion sobre dominio y rango de una funcion.

Un error frecuente es confundir sumar funciones con multiplicar sus reglas o con evaluar una funcion dentro de otra. Sumar funciones nunca implica sustituir una funcion dentro de la otra, eso corresponde a un concepto distinto llamado composicion. Si buscas esa operacion, conviene revisar directamente el tema de funciones compuestas en lugar de aplicar aqui la regla de la suma.

Otro error comun es olvidar simplificar completamente la expresion final, dejando terminos semejantes sin combinar, o calcular el dominio usando solo una de las dos funciones originales en vez de considerar ambas.

Para sumar dos funciones \(f(x)\) y \(g(x)\):

1. Escribe la expresion \( f(x) + g(x) \).

2. Combina los terminos semejantes para simplificar.

3. Determina el dominio como la interseccion de los dominios de \(f\) y \(g\).

Con esta regla puedes combinar cualquier par de funciones, ya sea que esten dadas como formulas, tablas de valores o graficas, siempre siguiendo el mismo principio: sumar los valores de salida para cada entrada compartida.

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