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Operaciones con Números Complejos en Forma Polar
Esta lección explica cómo multiplicar, dividir y elevar a potencias números complejos escritos en forma polar. Verás cómo el módulo y el argumento simplifican estas operaciones frente a la forma rectangular, incluyendo la aplicación del teorema de De Moivre con ejemplos resueltos paso a paso.
Repaso rápido de la forma polar
Un número complejo \( z = a + bi \) se puede escribir en forma polar como \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \), donde \( r \) es el módulo (la distancia al origen en el plano complejo) y \( \theta \) es el argumento (el ángulo que forma con el eje real positivo). Esta forma es la clave para que la multiplicación, la división y las potencias se conviertan en operaciones sobre \( r \) y \( \theta \) en lugar de sobre las partes real e imaginaria por separado.
Multiplicación de números complejos en forma polar
Si \( z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) \) y \( z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) \), entonces el producto es:
\( z_1 z_2 = r_1 r_2 \left[\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)\right] \)
En palabras: se multiplican los módulos y se suman los argumentos. Geométricamente, multiplicar por \( z_2 \) equivale a rotar el vector de \( z_1 \) un ángulo \( \theta_2 \) y escalar su longitud por \( r_2 \).
Ejemplo: multiplica \( z_1 = 2(\cos 30^{\circ} + i\sin 30^{\circ}) \) por \( z_2 = 3(\cos 45^{\circ} + i\sin 45^{\circ}) \).
Multiplicando los módulos: \( 2 \times 3 = 6 \). Sumando los argumentos: \( 30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ} \). Entonces \( z_1 z_2 = 6(\cos 75^{\circ} + i\sin 75^{\circ}) \).
División de números complejos en forma polar
La división sigue el patrón opuesto: se dividen los módulos y se restan los argumentos.
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}\left[\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2)\right] \)
Ejemplo: divide \( z_1 = 6(\cos 75^{\circ} + i\sin 75^{\circ}) \) entre \( z_2 = 3(\cos 45^{\circ} + i\sin 45^{\circ}) \).
Dividiendo los módulos: \( 6 \div 3 = 2 \). Restando los argumentos: \( 75^{\circ} - 45^{\circ} = 30^{\circ} \). Entonces \( \dfrac{z_1}{z_2} = 2(\cos 30^{\circ} + i\sin 30^{\circ}) \).
Potencias: el teorema de De Moivre
Cuando se multiplica un número complejo por sí mismo varias veces, la regla de multiplicación conduce directamente al teorema de De Moivre:
\( z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) \)
Es decir, para elevar \( z \) a la potencia \( n \), se eleva el módulo a la potencia \( n \) y se multiplica el argumento por \( n \).
Ejemplo: calcula \( z^3 \) si \( z = 2(\cos 20^{\circ} + i\sin 20^{\circ}) \).
\( z^3 = 2^3\left(\cos(3 \times 20^{\circ}) + i\sin(3 \times 20^{\circ})\right) = 8(\cos 60^{\circ} + i\sin 60^{\circ}) \)
Comparación con la forma rectangular
En la forma rectangular, multiplicar y dividir números complejos requiere distribuir términos y racionalizar denominadores, como se muestra en multiplicando y dividiendo números complejos. En la forma polar, en cambio, esas mismas operaciones se reducen a sumar, restar, multiplicar o dividir dos números reales: el módulo y el argumento. Por eso, cuando un problema involucra potencias grandes o varias multiplicaciones seguidas, conviene convertir a forma polar antes de operar.
Puntos clave para recordar
Al multiplicar, los módulos se multiplican y los argumentos se suman. Al dividir, los módulos se dividen y los argumentos se restan. Al elevar a una potencia \( n \), el módulo se eleva a \( n \) y el argumento se multiplica por \( n \). Siempre conviene identificar primero \( r \) y \( \theta \) de cada número antes de aplicar estas reglas.