Ecuación de la Línea Paralela

Dos rectas en el plano son paralelas cuando nunca se cruzan, sin importar cuánto se extiendan en cualquier dirección. Geométricamente esto solo es posible si las dos rectas tienen exactamente la misma inclinación. En álgebra, esa inclinación se mide con la pendiente \(m\), así que la condición para que dos rectas sean paralelas se resume en una sola regla: deben tener la misma pendiente.

Este tema construye directamente sobre lo que aprendiste en Introducción a ecuaciones lineales, donde viste que toda recta se puede escribir en la forma pendiente-intersección \(y = mx + b\), con \(m\) la pendiente y \(b\) la intersección con el eje \(y\).

Si una recta tiene pendiente \(m_1\) y otra recta tiene pendiente \(m_2\), entonces las dos rectas son paralelas exactamente cuando:

\( m_1 = m_2 \)

Las dos rectas pueden tener distinta intersección con el eje \(y\) (es decir, \(b_1 \ne b_2\)), pero si comparten la misma pendiente, jamás se cortarán. Si además \(b_1 = b_2\), entonces no son dos rectas distintas: son la misma recta escrita dos veces.

Ten en cuenta que este criterio de pendiente aplica a rectas oblicuas. Las líneas horizontales tienen pendiente \(0\) y son paralelas entre sí, mientras que las líneas verticales no tienen pendiente definida pero también son paralelas entre sí si tienen ecuaciones \(x = a\) con distinto valor de \(a\).

Para encontrar la ecuación de una recta paralela a una recta dada, que además pase por un punto específico, sigue estos pasos:

1. Identifica la pendiente \(m\) de la recta dada, escribiendo su ecuación en la forma \(y = mx + b\) si aún no está en esa forma.
2. Usa esa misma pendiente \(m\) junto con el punto dado \((x_1, y_1)\) en la forma punto-pendiente: \( y - y_1 = m(x - x_1) \).
3. Despeja \(y\) para dejar la ecuación en la forma pendiente-intersección \(y = mx + b\).

Ejemplo 1

Encuentra la ecuación de la recta paralela a \(y = 2x + 5\) que pasa por el punto \((3, 1)\).

Paso 1. La recta dada ya está en forma pendiente-intersección, así que su pendiente es \(m = 2\). Como la nueva recta debe ser paralela, también tendrá pendiente \(m = 2\).

Paso 2. Sustituye \(m = 2\) y el punto \((3, 1)\) en la forma punto-pendiente:

\( y - 1 = 2(x - 3) \)

Paso 3. Despeja \(y\):

\( y - 1 = 2x - 6 \)

\( y = 2x - 5 \)

La ecuación de la recta paralela es \( y = 2x - 5 \). Observa que la pendiente no cambió, solo la intersección con el eje \(y\).

Cuando las ecuaciones no están escritas en forma pendiente-intersección (por ejemplo, están en forma estándar \(ax + by = c\)), primero conviértelas a la forma \(y = mx + b\) para poder comparar sus pendientes directamente.

Ejemplo 2

¿Son paralelas las rectas \(2x - y = 4\) y \(4x - 2y = 10\)?

Recta 1: despejando \(y\) de \(2x - y = 4\) se obtiene \(y = 2x - 4\), con pendiente \(m_1 = 2\).

Recta 2: despejando \(y\) de \(4x - 2y = 10\) se obtiene \(y = 2x - 5\), con pendiente \(m_2 = 2\).

Como \(m_1 = m_2 = 2\) y las intersecciones con el eje \(y\) son distintas (\(-4\) y \(-5\)), las dos rectas son paralelas y nunca se cruzan.

Este criterio de comparar pendientes es el opuesto al que usarás para rectas perpendiculares, donde el producto de las pendientes debe ser \(-1\). Puedes profundizar en ese caso en Ecuación de la línea perpendicular.

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