Crecimiento y Decrecimiento Exponencial por Porcentaje

Muchas situaciones de la vida real no cambian sumando o restando siempre la misma cantidad, sino que cambian un cierto porcentaje en cada periodo de tiempo. Una poblacion que aumenta un 5% cada año, un material radiactivo que pierde un 3% de su masa cada hora, o una inversion que crece un 8% cada mes son ejemplos de crecimiento o decrecimiento exponencial por porcentaje.

La diferencia clave con el crecimiento exponencial expresado directamente por un factor es que aqui el dato que nos dan es una tasa porcentual, y debemos convertirla en un numero decimal antes de poder usarla en la formula. Si ya conoces el caso en el que el cambio se da como un factor de multiplicacion, puedes repasarlo en crecimiento y decrecimiento exponencial por factor.

Para modelar estas situaciones usamos la siguiente formula general.

Para crecimiento: \( A(t) = A_0 (1 + r)^t \)

Para decrecimiento: \( A(t) = A_0 (1 - r)^t \)

En estas expresiones, \( A_0 \) es la cantidad inicial, \( r \) es la tasa de cambio expresada como decimal, \( t \) representa el numero de periodos transcurridos, y \( A(t) \) es la cantidad despues de esos periodos.

El paso mas importante, y en el que mas se equivocan los estudiantes, es convertir el porcentaje en decimal. Un aumento del 5% se escribe como \( r = 0.05 \), y una disminucion del 3% se escribe tambien como \( r = 0.03 \), pero se resta en lugar de sumarse dentro del parentesis.

Cuando una cantidad aumenta un porcentaje fijo en cada periodo, el factor \( (1 + r) \) siempre es mayor que \( 1 \), por lo que la grafica sube cada vez mas rapido.

Ejemplo: Una poblacion de 1000 habitantes crece un 5% cada año. Su tamaño despues de \( t \) años se modela con \( A(t) = 1000 (1.05)^t \). Despues de 10 años tenemos \( A(10) = 1000 (1.05)^{10} \approx 1628.89 \) habitantes.

Cuando una cantidad disminuye un porcentaje fijo en cada periodo, el factor \( (1 - r) \) siempre esta entre \( 0 \) y \( 1 \), asi que la grafica baja acercandose al eje horizontal sin llegar nunca a el.

Ejemplo: Una sustancia radiactiva de 500 gramos pierde un 3% de su masa cada hora. La cantidad restante se modela con \( A(t) = 500 (0.97)^t \). Despues de 8 horas queda \( A(8) = 500 (0.97)^{8} \approx 391.87 \) gramos.

Un error frecuente es olvidar convertir el porcentaje a decimal, usando \( r = 5 \) en lugar de \( r = 0.05 \). Otro error es confundir el signo dentro del parentesis: se suma la tasa cuando la cantidad crece y se resta cuando decrece. Tambien es importante identificar correctamente cual es el valor inicial \( A_0 \) y cual es la variable de tiempo \( t \), ya que el periodo puede ser en años, meses, horas o cualquier otra unidad segun el problema.

Este tipo de modelo aparece constantemente en finanzas y en ciencias. Por ejemplo, el interes compuesto usa exactamente esta idea para calcular como crece una inversion, tema que puedes revisar en finanzas: interes compuesto. Del lado del decrecimiento, la desintegracion de sustancias radiactivas suele describirse con una tasa porcentual constante, un caso especial que se estudia en decrecimiento exponencial: la vida media.

Antes de resolver un problema, identifica si te dan un porcentaje de cambio o un factor de multiplicacion directo. Si el enunciado dice cosas como "aumenta un 7% cada mes" o "disminuye un 2% cada dia", estas frente a un cambio por porcentaje y debes usar \( (1 + r) \) o \( (1 - r) \). Si en cambio el enunciado te da directamente un numero como "se duplica cada hora" o "se reduce a la mitad cada dia", ese es un cambio por factor y conviene usar la formula de crecimiento y decrecimiento por factor en lugar de convertir todo a porcentaje.

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