Combinación de ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares

Antes de combinar ambas ideas, recordemos las dos condiciones clave sobre pendientes. Si dos rectas tienen pendientes \( m_1 \) y \( m_2 \):

• Son paralelas si \( m_1 = m_2 \) (misma inclinación, nunca se cruzan).
• Son perpendiculares si \( m_1 \cdot m_2 = -1 \), es decir, una pendiente es la reciproca negativa de la otra.

Si necesitas repasar estas reglas por separado, revisa las lecciones de ecuación de la línea paralela y ecuación de la línea perpendicular. Aquí nos enfocamos en usar las dos condiciones dentro de un mismo problema.

Muchos ejercicios de examen no piden solo una recta paralela o solo una perpendicular: piden ambas a partir de la misma recta original y, muchas veces, del mismo punto. El procedimiento general es:

1. Escribe la recta dada en la forma \( y = mx + b \) para identificar su pendiente \( m \).
2. Para la recta paralela, usa la misma pendiente \( m \) junto con el punto dado.
3. Para la recta perpendicular, calcula la pendiente reciproca negativa \( -\frac{1}{m} \) junto con el mismo punto (u otro punto indicado).
4. Sustituye en la forma punto-pendiente \( y - y_1 = m(x - x_1) \) y simplifica cada ecuación por separado.

Ejemplo resuelto

Sea la recta \( L: y = 3x + 2 \) y el punto \( P(0, 0) \), que no pertenece a \( L \) (ya que \( 3(0)+2=2 \ne 0 \)). Encuentra la ecuación de la recta paralela a \( L \) que pasa por \( P \), y también la ecuación de la recta perpendicular a \( L \) que pasa por \( P \).

Paralela: la pendiente de \( L \) es \( m = 3 \), así que usamos la misma pendiente:

\( y - 0 = 3(x - 0) \) → \( y = 3x \)

Perpendicular: la pendiente reciproca negativa de 3 es \( -\frac{1}{3} \):

\( y - 0 = -\frac{1}{3}(x - 0) \) → \( y = -\frac{1}{3}x \)

Nota que ambas ecuaciones comparten el punto \( P \), pero una conserva la inclinación de \( L \) y la otra la cruza en ángulo recto.

Otro tipo de problema combinado te da dos ecuaciones ya escritas y te pide decidir su relación. Primero conviertes cada una a la forma \( y = mx + b \), como se explica en introducción a ecuaciones lineales, y luego comparas las pendientes con la siguiente tabla.

Relación	Condición sobre pendientes	Ejemplo
Paralelas	\( m_1 = m_2 \)	\( y=2x+1 \) y \( y=2x-3 \)
Perpendiculares	\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)	\( y=2x+1 \) y \( y=-\frac{1}{2}x+4 \)
Ninguna de las dos	\( m_1 \ne m_2 \) y \( m_1 \cdot m_2 \ne -1 \)	\( y=2x+1 \) y \( y=5x-2 \)

Por ejemplo, para las rectas \( 2x + 4y = 8 \) y \( 8x - 4y = 12 \), despejamos \( y \) en cada una: \( y = -\frac{1}{2}x + 2 \) y \( y = 2x - 3 \). El producto de pendientes es \( \left(-\frac{1}{2}\right)(2) = -1 \), así que son perpendiculares.

• Olvidar despejar \( y \) antes de comparar pendientes cuando la ecuación está en forma general.
• Confundir la condición perpendicular \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) con simplemente invertir la pendiente sin cambiar el signo.
• Usar la pendiente de la recta paralela en la fórmula de la recta perpendicular, o viceversa, por trabajar ambos casos al mismo tiempo.
• No verificar casos especiales como líneas horizontales o verticales, revisados en las lecciones de líneas horizontales y líneas verticales, donde la pendiente no sigue la fórmula habitual.

Related lessons

• Es Algebra Help