Distribución Binomial Negativa

La distribución binomial negativa describe el número de ensayos fallidos (fracasos) que ocurren antes de conseguir un número fijo de éxitos, \( r \), en una secuencia de ensayos independientes de Bernoulli, cada uno con la misma probabilidad de éxito \( p \). A diferencia de la distribución binomial, donde el número de ensayos \( n \) es fijo y contamos los éxitos, aquí es el número de éxitos \( r \) el que se fija de antemano y contamos cuántos fracasos aparecen antes de alcanzarlo.

Esta variable aleatoria \( X \) representa el número de fracasos antes del r-ésimo éxito. Los valores posibles de \( X \) son \( 0, 1, 2, 3, \ldots \), sin límite superior, porque en teoría podríamos necesitar muchísimos intentos antes de acumular \( r \) éxitos.

La función de probabilidad (o función de masa de probabilidad) de la distribución binomial negativa es:

\( P(X=k) = \binom{k+r-1}{k} \, p^r (1-p)^k \), donde \( k = 0, 1, 2, 3, \ldots \)

Aquí:

• \( k \) es el número de fracasos antes del r-ésimo éxito.
• \( r \) es el número fijo de éxitos que buscamos.
• \( p \) es la probabilidad de éxito en cada ensayo, constante en todos los ensayos.
• \( \binom{k+r-1}{k} \) cuenta el número de formas de ordenar esos \( k \) fracasos y \( r-1 \) éxitos antes del último éxito.

El término \( p^r \) representa la probabilidad de los \( r \) éxitos y \( (1-p)^k \) la probabilidad de los \( k \) fracasos.

La media (valor esperado) y la varianza de la distribución binomial negativa se calculan con:

\( E(X) = \dfrac{r(1-p)}{p} \)

\( Var(X) = \dfrac{r(1-p)}{p^2} \)

Estas fórmulas muestran que, entre más pequeña sea \( p \), más fracasos se esperan antes de lograr los \( r \) éxitos, y también aumenta la dispersión de los resultados. Para revisar cómo se construyen fórmulas de media y varianza a partir de una función de probabilidad, puedes consultar la lección de distribución de probabilidad, histograma, media, varianza y desviación estándar.

Un jugador de baloncesto anota un tiro libre con probabilidad \( p = 0.6 \). Queremos la probabilidad de que necesite exactamente 2 fallos antes de anotar su tercer tiro libre exitoso, es decir, \( r = 3 \) y \( k = 2 \).

Sustituyendo en la fórmula:

\( P(X=2) = \binom{2+3-1}{2} (0.6)^3 (0.4)^2 = \binom{4}{2} (0.216)(0.16) \)

Como \( \binom{4}{2} = 6 \), obtenemos \( P(X=2) = 6 \times 0.216 \times 0.16 = 0.20736 \).

Es decir, hay aproximadamente un 20.7% de probabilidad de que el jugador falle exactamente 2 tiros antes de anotar su tercer tiro exitoso.

La distribución binomial negativa está muy relacionada con dos distribuciones que probablemente ya conoces. Cuando \( r = 1 \), se reduce exactamente a la distribución geométrica, que modela el número de fracasos antes del primer éxito. Por otro lado, mientras que la distribución binomial negativa fija el número de éxitos y deja aleatorio el número de ensayos, la distribución binomial hace lo contrario: fija el número de ensayos y cuenta los éxitos. Reconocer esta diferencia es clave para elegir el modelo correcto en un problema de probabilidad.

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