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Prueba de hipótesis con Ji cuadrado de Pearson

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Prueba de Hipótesis de Chi Cuadrado

Esta lección explica la prueba de hipótesis de chi cuadrado paso a paso: qué mide el estadístico chi cuadrado, cómo calcular los grados de libertad según el tipo de prueba, cómo leer la tabla de chi cuadrado para hallar el valor crítico y cómo decidir si se rechaza o no la hipótesis nula, con un ejemplo resuelto.

¿Qué es la prueba de hipótesis de chi cuadrado?

La prueba de hipótesis de chi cuadrado (también llamada prueba de ji cuadrado) es una prueba estadística que se usa con datos categóricos. Sirve para comparar las frecuencias observadas de un conjunto de categorías con las frecuencias que esperaríamos si una hipótesis nula fuera cierta. Es útil, por ejemplo, para saber si un dado es justo, si dos variables categóricas están relacionadas, o si una muestra sigue una distribución teórica esperada.

Antes de calcular cualquier cosa, conviene repasar cómo se plantean correctamente la hipótesis nula e hipótesis alternativa, ya que la prueba de chi cuadrado sigue la misma lógica general de decisión que cualquier otra prueba de hipótesis.

El estadístico de prueba se calcula sumando, para cada categoría, el cuadrado de la diferencia entre el valor observado \(O_i\) y el valor esperado \(E_i\), dividido entre el valor esperado:

\( \chi^2 = \sum \dfrac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \)

Cuanto más se alejan las frecuencias observadas de las esperadas, mayor es el valor de \(\chi^2\). Si quieres repasar la idea general de qué es un estadístico de prueba y para qué sirve dentro de una prueba de hipótesis, revisa la lección sobre el estadístico de prueba.

Los grados de libertad (gl) dependen del tipo de prueba de chi cuadrado que se esté realizando:

  • Prueba de bondad de ajuste: \( gl = k - 1 \), donde \(k\) es el número de categorías.
  • Prueba de independencia (tabla de contingencia): \( gl = (r-1)(c-1) \), donde \(r\) es el número de filas y \(c\) el número de columnas.

La forma de la distribución chi cuadrado cambia según los grados de libertad: siempre es asimétrica hacia la derecha, pero se vuelve más simétrica cuando \(gl\) aumenta.

Forma de una distribucion chi cuadrado con 5 grados de libertad, mostrando el estadistico calculado y el valor critico Plot of y = x**1.5*exp(-x/2) for x in [0.1, 20] 5 10 15 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 chi cuadrado densidad estadistico calculado valor critico (gl=5, alfa=0.05)
Forma aproximada de la distribución chi cuadrado, con el estadístico calculado y el valor crítico del ejemplo resuelto.

Para decidir si el resultado es significativo, se compara el estadístico \(\chi^2\) calculado con un valor crítico obtenido de la tabla de chi cuadrado, usando los grados de libertad y el nivel de significancia \(\alpha\) elegido. Si necesitas repasar cómo se elige \(\alpha\) y qué representa exactamente un valor crítico, consulta la lección sobre niveles de confianza, niveles de significancia y valores críticos.

  1. Plantea la hipótesis nula (las frecuencias observadas coinciden con las esperadas) y la hipótesis alternativa.
  2. Elige el nivel de significancia \(\alpha\), normalmente 0.05.
  3. Calcula el estadístico \( \chi^2 = \sum \dfrac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \).
  4. Calcula los grados de libertad y busca el valor crítico en la tabla de chi cuadrado.
  5. Compara: si \(\chi^2\) calculado es mayor que el valor crítico, rechaza la hipótesis nula; si no, no se rechaza.

Se lanza un dado 60 veces para comprobar si es justo. Si el dado fuera justo, esperaríamos 10 resultados para cada cara (\(60 \div 6 = 10\)). Las frecuencias observadas fueron las siguientes:

Cara O E 123456 8121091110 101010101010

El estadístico de prueba es:

\( \chi^2 = \dfrac{(8-10)^2}{10} + \dfrac{(12-10)^2}{10} + \dfrac{(10-10)^2}{10} + \dfrac{(9-10)^2}{10} + \dfrac{(11-10)^2}{10} + \dfrac{(10-10)^2}{10} = 1.0 \)

Con \(k = 6\) categorías, los grados de libertad son \( gl = 6 - 1 = 5 \). Buscando en la tabla de chi cuadrado con \(gl = 5\) y \(\alpha = 0.05\), el valor crítico es aproximadamente 11.07. Como \(1.0\) es mucho menor que \(11.07\), no se rechaza la hipótesis nula: no hay evidencia suficiente para decir que el dado esté cargado.

Si prefieres trabajar con el valor p en lugar de comparar directamente con la tabla, puedes aplicar la misma lógica que en la prueba de hipótesis con valores "p": se rechaza la hipótesis nula cuando el valor p es menor que \(\alpha\).

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