Números Críticos y Valores Máximos y Mínimos

Un número crítico (también llamado punto crítico) de una función \( f(x) \) es cualquier valor \( x = c \) en el dominio de \( f \) que cumple una de estas dos condiciones: la derivada se anula, es decir \( f'(c) = 0 \), o la derivada no existe en ese punto. Estos valores son fundamentales porque son los únicos lugares donde la función puede cambiar de creciente a decreciente (o al revés), y por lo tanto son los candidatos naturales para los valores máximos y mínimos de la función.

Es importante recordar que no todo número crítico produce un máximo o un mínimo. Puede tratarse también de un punto de inflexión con tangente horizontal, como ocurre en \( f(x) = x^3 \) en \( x = 0 \). Por eso, encontrar el número crítico es solo el primer paso: después hay que clasificarlo.

Para hallar los puntos críticos de una función se siguen estos pasos:

1. Calcula la derivada \( f'(x) \).
2. Resuelve la ecuación \( f'(x) = 0 \) para encontrar los valores de \( x \) donde la pendiente de la recta tangente es cero.
3. Revisa también los valores de \( x \) donde \( f'(x) \) no existe, por ejemplo por una raíz, una fracción con denominador cero o un valor absoluto.
4. Verifica que cada valor encontrado pertenezca al dominio de \( f(x) \).

Por ejemplo, si \( f(x) = x^3 - 3x \), su derivada es \( f'(x) = 3x^2 - 3 \). Igualando a cero: \( 3x^2 - 3 = 0 \), entonces \( x^2 = 1 \) y los números críticos son \( x = 1 \) y \( x = -1 \).

Una vez hallados los números críticos, se puede usar la prueba de la primera derivada para saber si cada uno corresponde a un máximo relativo, a un mínimo relativo o a ninguno de los dos. La idea es observar el signo de \( f'(x) \) justo antes y justo después del punto crítico:

• Si \( f'(x) \) cambia de positivo a negativo, hay un máximo relativo.
• Si \( f'(x) \) cambia de negativo a positivo, hay un mínimo relativo.
• Si el signo no cambia, el punto no es ni máximo ni mínimo.

En el ejemplo anterior, \( f'(x) = 3x^2 - 3 \) es positiva antes de \( x = -1 \), negativa entre \( x = -1 \) y \( x = 1 \), y positiva después de \( x = 1 \). Esto significa que \( x = -1 \) es un máximo relativo y \( x = 1 \) es un mínimo relativo, tal como se observa en la gráfica.

Otra forma de clasificar un número crítico es con la prueba de la segunda derivada. Si \( f'(c) = 0 \), se calcula \( f''(c) \):

• Si \( f''(c) > 0 \), la función es cóncava hacia arriba y \( c \) es un mínimo relativo.
• Si \( f''(c) < 0 \), la función es cóncava hacia abajo y \( c \) es un máximo relativo.
• Si \( f''(c) = 0 \), la prueba no decide nada y hay que usar la primera derivada.

Con \( f(x) = x^3 - 3x \), la segunda derivada es \( f''(x) = 6x \). En \( x = -1 \), \( f''(-1) = -6 < 0 \), confirmando el máximo relativo. En \( x = 1 \), \( f''(1) = 6 > 0 \), confirmando el mínimo relativo.

Un máximo o mínimo relativo es el mayor o menor valor de la función dentro de un intervalo cercano al punto. Un máximo o mínimo absoluto es el mayor o menor valor que toma la función en todo su dominio, o en un intervalo cerrado \( [a, b] \) si se está trabajando en un dominio restringido.

Para hallar los extremos absolutos en un intervalo cerrado \( [a, b] \):

1. Encuentra todos los números críticos de \( f \) que estén dentro de \( [a, b] \).
2. Evalúa \( f \) en cada uno de esos puntos críticos.
3. Evalúa también \( f(a) \) y \( f(b) \), los extremos del intervalo.
4. El valor mayor de todos es el máximo absoluto y el menor es el mínimo absoluto.

Este proceso de analizar el crecimiento, la concavidad y los extremos de una función es exactamente lo que se usa al dibujar la gráfica de una función a partir de sus derivadas, y también es la base de los problemas de optimización de funciones, donde se busca el valor máximo o mínimo posible de una cantidad en una situación real.

Encuentra los extremos absolutos de \( f(x) = x^3 - 3x \) en el intervalo \( [-2, 2] \).

Ya sabemos que los números críticos son \( x = -1 \) y \( x = 1 \), ambos dentro del intervalo. Evaluamos:

• \( f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) = -8 + 6 = -2 \)
• \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \)
• \( f(1) = 1 - 3 = -2 \)
• \( f(2) = 8 - 6 = 2 \)

Comparando los cuatro valores, el máximo absoluto es \( 2 \), alcanzado en \( x = -1 \) y en \( x = 2 \), y el mínimo absoluto es \( -2 \), alcanzado en \( x = 1 \) y en \( x = -2 \). Este ejemplo muestra por qué nunca basta con mirar solo los números críticos: siempre hay que comparar también con los extremos del intervalo.

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