Resolver Ecuaciones Logarítmicas

Una ecuación logarítmica es cualquier ecuación en la que la variable aparece dentro del argumento de un logaritmo, como \( \log_2(x) + \log_2(x-2) = 3 \). Para resolverla, el objetivo es despejar la variable eliminando los logaritmos, generalmente combinándolos primero y luego convirtiendo la ecuación a su forma exponencial equivalente. Si aún no tienes claro qué representa un logaritmo, revisa primero ¿Qué es un logaritmo? antes de continuar con esta lección.

Resolver ecuaciones logarítmicas depende de poder reducir varios logaritmos a uno solo. Las propiedades más usadas son:

• Propiedad del producto: \( \log_b(M) + \log_b(N) = \log_b(MN) \)
• Propiedad del cociente: \( \log_b(M) - \log_b(N) = \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) \)
• Propiedad de la potencia: \( \log_b(M^k) = k\log_b(M) \)

La propiedad del cociente se explica con más detalle en logaritmo de un cociente, así que aquí nos enfocamos en cómo aplicarlas dentro de una ecuación completa.

El procedimiento general tiene cuatro etapas:

1. Usa las propiedades de los logaritmos para reducir la ecuación a un solo logaritmo en cada lado, o a un solo logaritmo igualado a un número.
2. Convierte la ecuación logarítmica a su forma exponencial equivalente: \( \log_b(x) = y \Leftrightarrow b^y = x \). Si necesitas repasar este paso, consulta Convirtiendo de logaritmo a forma exponencial.
3. Resuelve la ecuación algebraica resultante (lineal, cuadrática, etc.).
4. Verifica cada solución en la ecuación logarítmica original y descarta cualquier valor que haga que el argumento de un logaritmo sea negativo o cero.

Resuelve \( \log_2(x) + \log_2(x-2) = 3 \).

Paso 1: combina los logaritmos usando la propiedad del producto.

\( \log_2\big(x(x-2)\big) = 3 \)

Paso 2: convierte a forma exponencial.

\( x(x-2) = 2^3 = 8 \)

Paso 3: resuelve la ecuación cuadrática.

\( x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 4 \ \)o\( \ x = -2 \)

Paso 4: verifica el dominio. Como \( x-2 \) debe ser positivo, se necesita \( x > 2 \). El valor \( x = -2 \) queda fuera del dominio y se descarta. La solución final es \( x = 4 \).

Resuelve \( \log(x+3) - \log(x) = 1 \) (logaritmo en base 10).

Paso 1: combina con la propiedad del cociente.

\( \log\left(\dfrac{x+3}{x}\right) = 1 \)

Paso 2: convierte a forma exponencial.

\( \dfrac{x+3}{x} = 10^1 = 10 \)

Paso 3: resuelve la ecuación lineal.

\( x + 3 = 10x \Rightarrow 3 = 9x \Rightarrow x = \dfrac{1}{3} \)

Paso 4: verifica el dominio. Se necesita \( x > 0 \) y \( x + 3 > 0 \), lo cual se cumple para \( x = \dfrac{1}{3} \). La solución es válida.

Resuelve \( \log_3(2x-1) = 2 \).

Convierte directamente a forma exponencial: \( 2x - 1 = 3^2 = 9 \), entonces \( 2x = 10 \) y \( x = 5 \). Como \( 2(5) - 1 = 9 > 0 \), el dominio se cumple y \( x = 5 \) es la solución correcta.

Entender la forma de la gráfica ayuda a visualizar por qué solo se aceptan argumentos positivos: la función \( y = \log_2(x) \) solo existe para \( x > 0 \), crece lentamente y pasa por el punto \( (8, 3) \) porque \( 2^3 = 8 \).

Al elevar ambos lados a una potencia o combinar logaritmos, a veces se introducen soluciones que no cumplen el dominio original de la función logarítmica (el argumento debe ser siempre positivo). Por eso el último paso, verificar cada solución en la ecuación original, nunca debe omitirse. Si también trabajas con logaritmos naturales, el mismo proceso aplica; puedes repasar sus propiedades en Logaritmo natural.

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