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Series Geométricas

Explicacion clara de las series geometricas: definicion, formula de la suma de los primeros n terminos, ejemplos resueltos y su relacion con las progresiones geometricas y las series aritmeticas.

Qué es una serie geométrica

Una serie geométrica es la suma de los términos de una progresión geométrica, es decir, una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón común, representado con la letra \( r \). Si ya conoces las progresiones geométricas, una serie geométrica simplemente suma esos términos en lugar de solo listarlos.

Por ejemplo, la sucesión \( 3, 6, 12, 24, 48 \) tiene razón \( r = 2 \), porque cada término es el doble del anterior. La serie geométrica correspondiente es la suma:

\( 3 + 6 + 12 + 24 + 48 \)

Fórmula de la suma de una serie geométrica finita

Para sumar los primeros \( n \) términos de una serie geométrica, no es necesario sumarlos uno por uno. Existe una fórmula directa:

\( S_n = \dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r} \), válida cuando \( r \ne 1 \)

donde \( a_1 \) es el primer término, \( r \) es la razón común y \( n \) es el número de términos que se están sumando. Si prefieres trabajar con \( r > 1 \), puedes usar la forma equivalente \( S_n = \dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1} \), que evita restar un número menor de uno mayor. Cuando \( r = 1 \), todos los términos son iguales a \( a_1 \) y la suma se reduce simplemente a \( S_n = n a_1 \).

Ejemplo resuelto

Calcula la suma de los primeros 5 términos de la serie geométrica con \( a_1 = 3 \) y \( r = 2 \).

Sustituyendo en la fórmula:

\( S_5 = \dfrac{3(2^5-1)}{2-1} = \dfrac{3(32-1)}{1} = 3 \times 31 = 93 \)

Puedes comprobarlo sumando directamente: \( 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93 \). La gráfica siguiente muestra cómo crece cada término individual conforme aumenta \( n \), lo que ayuda a visualizar por qué la suma crece tan rápido cuando \( r > 1 \).

Crecimiento de los términos \( a_n = 3 \times 2^{(n-1)} \) de la serie geométrica.

Series geométricas frente a series aritméticas

Es fácil confundir una serie geométrica con una serie aritmética. La diferencia está en cómo cambian los términos: en una serie aritmética cada término se obtiene sumando una diferencia constante, mientras que en una serie geométrica cada término se obtiene multiplicando por una razón constante \( r \). Por eso las series geométricas suelen crecer (o decrecer) mucho más rápido cuando \( |r| \) es distinto de 1.

Notación y series infinitas

Las sumas de series geométricas también pueden escribirse de forma compacta usando la notación sigma, lo cual es útil cuando el número de términos es grande. Además, cuando \( |r| < 1 \) y se suman infinitos términos, la suma se aproxima a un valor fijo en lugar de crecer sin límite; este caso especial se estudia en las series geométricas infinitas.

Resumen de la fórmula

Para resolver cualquier problema de suma de una serie geométrica, sigue estos pasos:

1. Identifica el primer término \( a_1 \).

2. Encuentra la razón común \( r \) dividiendo un término entre el anterior.

3. Determina cuántos términos \( n \) se están sumando.

4. Sustituye estos valores en \( S_n = \dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r} \) y simplifica.

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