Evaluar Logaritmos con la Fórmula de Cambio de Base

La mayoría de las calculadoras solo tienen dos botones de logaritmo: log (base diez) y ln (logaritmo natural, base e). Pero, ¿qué haces cuando necesitas evaluar algo como \( \log_5 12 \) o \( \log_2 30 \)? Ahí entra la fórmula de cambio de base: una herramienta que convierte un logaritmo de cualquier base en una división de dos logaritmos que sí puedes calcular directamente. Si todavía no tienes claro qué representa un logaritmo, conviene revisar primero ¿Qué es un logaritmo? antes de continuar con este método.

Para cualquier logaritmo \( \log_b a \), y para cualquier base nueva \( k \) positiva y distinta de uno, se cumple lo siguiente:

En palabras: el logaritmo de \( a \) en base \( b \) es igual al logaritmo de \( a \) en la nueva base, dividido entre el logaritmo de \( b \) en esa misma nueva base. En la práctica, casi siempre se elige \( k = 10 \) o \( k = e \), porque son los valores que la calculadora ya conoce.

La fórmula de cambio de base no aparece de la nada: se deriva de la definición del logaritmo como exponente. Si partes de \( \log_b a = y \), esa igualdad equivale a escribir \( b^{y} = a \), tal como se explica en Convirtiendo de logaritmo a forma exponencial. Al aplicar el logaritmo en base \( k \) a ambos lados de \( b^{y} = a \) y usar la propiedad del logaritmo de una potencia, se obtiene \( y \cdot \log_k b = \log_k a \). Despejando \( y \), llegas exactamente a la fórmula de cambio de base.

Evalúa \( \log_5 12 \) usando la fórmula de cambio de base con \( k = 10 \).

Paso 1: escribe el logaritmo como un cociente de logaritmos base diez.

\( \log_5 12 = \dfrac{\log 12}{\log 5} \)

Paso 2: calcula cada logaritmo con la calculadora.

\( \log 12 \approx 1.079 \) y \( \log 5 \approx 0.699 \)

Paso 3: divide los dos resultados.

\( \log_5 12 \approx \dfrac{1.079}{0.699} \approx 1.544 \)

Puedes comprobar la respuesta elevando la base original al resultado: \( 5^{1.544} \) debe acercarse mucho a 12.

Ahora evalúa \( \log_3 20 \) usando \( k = e \), es decir, con el logaritmo natural.

\( \log_3 20 = \dfrac{\ln 20}{\ln 3} \approx \dfrac{2.996}{1.099} \approx 2.727 \)

Fíjate en algo importante: no importa si eliges base diez o base e, el resultado final debe ser el mismo (salvo pequeñas diferencias por redondeo), porque ambas rutas describen exactamente el mismo número.

• Confundir la división con la resta: \( \dfrac{\log a}{\log b} \) no es lo mismo que \( \log a - \log b \), que en realidad corresponde al logaritmo de un cociente.
• Olvidar que la base nueva \( k \) debe ser positiva y distinta de uno, igual que cualquier otra base logarítmica.
• Redondear demasiado pronto en un paso intermedio, lo que puede alterar el resultado final.
• Mezclar log y ln dentro de la misma fracción; usa la misma base en el numerador y en el denominador.

El cambio de base también es muy útil cuando necesitas resolver ecuaciones logarítmicas con bases distintas en la misma ecuación, ya que te permite reescribir todos los términos en una sola base común antes de continuar.

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