Aplicaciones de Ecuaciones Racionales

Las aplicaciones de ecuaciones racionales son problemas de la vida real que se modelan con fracciones algebraicas: tiempos de trabajo combinado, velocidades de corriente, tasas de produccion y muchas situaciones de proporcion. En lugar de resolver una ecuacion racional ya planteada, aqui el reto principal es traducir el enunciado en palabras a una ecuacion, y despues aplicar las tecnicas que ya conoces para resolver ecuaciones racionales.

Casi todos los problemas de aplicacion siguen la misma secuencia de pasos:

1. Identifica la cantidad desconocida y asignale una variable, por ejemplo \(x\).
2. Expresa cada tasa o fraccion del problema en terminos de esa variable.
3. Escribe la ecuacion racional que relaciona las tasas o las cantidades.
4. Multiplica ambos lados por el minimo comun denominador para eliminar las fracciones.
5. Resuelve la ecuacion resultante y comprueba las restricciones (los valores que hacen cero al denominador original nunca son validos).
6. Interpreta el resultado en el contexto del problema y descarta soluciones que no tengan sentido, como tiempos o distancias negativas.

El paso de identificar valores prohibidos es exactamente el mismo que se estudia al simplificar expresiones racionales y sus restricciones, asi que conviene repasarlo si aun no te sientes seguro con esa idea.

Un tipo clasico de aplicacion involucra a dos o mas personas o maquinas que trabajan juntas para terminar una tarea. Si una persona tarda \(a\) horas en completar el trabajo sola y otra tarda \(b\) horas, su tasa de trabajo es \(\dfrac{1}{a}\) y \(\dfrac{1}{b}\) de la tarea por hora. Si trabajan juntas y terminan en \(t\) horas, se cumple:

\( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{t} \)

Esta ecuacion es una suma de fracciones algebraicas, la misma operacion que se practica al sumar y restar expresiones racionales. La siguiente tabla resume las cantidades tipicas de un problema de trabajo combinado.

Otro grupo comun de aplicaciones usa la relacion \( d = rt \), donde \(d\) es la distancia, \(r\) es la velocidad o rapidez y \(t\) es el tiempo. Despejando el tiempo se obtiene \( t = \dfrac{d}{r} \), una expresion racional. Estos problemas aparecen, por ejemplo, cuando una embarcacion viaja con y contra la corriente de un rio: si la velocidad de la embarcacion en agua tranquila es \(v\) y la corriente tiene velocidad \(c\), la velocidad efectiva es \(v + c\) rio abajo y \(v - c\) rio arriba.

Una impresora tarda 6 horas en imprimir un lote de folletos trabajando sola. Una segunda impresora tarda 4 horas menos que la primera trabajando junto con ella para completar el mismo lote combinado. Si ambas impresoras trabajan juntas, terminan el lote en \(x\) horas, y la segunda impresora sola tarda \(x - 4\)... en este caso usaremos un planteamiento mas simple: la segunda impresora tarda 3 horas trabajando sola. Se pide el tiempo que tardan juntas.

Planteamos la ecuacion de trabajo combinado con \(a = 6\), \(b = 3\) y tiempo combinado \(t\):

\( \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{t} \)

El minimo comun denominador de 6, 3 y \(t\) es \(6t\). Multiplicando cada termino por \(6t\):

\( t + 2t = 6 \)

\( 3t = 6 \)

\( t = 2 \)

Como \(t = 2\) no hace cero a ningun denominador original, la solucion es valida: trabajando juntas, las dos impresoras terminan el lote en 2 horas.

• Olvidar comprobar las restricciones y aceptar una solucion que anula un denominador.
• Confundir la tasa de trabajo \(\dfrac{1}{a}\) con el tiempo \(a\) al plantear la ecuacion.
• No multiplicar todos los terminos por el minimo comun denominador, dejando fracciones a medio resolver.
• Aceptar una solucion negativa o cero cuando el contexto exige un tiempo o una distancia positiva.

Related lessons

• Es Algebra Help