Sumar y Restar Radicales

Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo indice y el mismo radicando. Por ejemplo, \(3\sqrt{2}\) y \(5\sqrt{2}\) son semejantes porque ambos son raices cuadradas de 2. En cambio, \(3\sqrt{2}\) y \(3\sqrt{3}\) no son semejantes porque los radicandos son distintos, y \(3\sqrt{2}\) tampoco es semejante a \(3\sqrt[3]{2}\) porque el indice de la raiz es diferente.

Cuando los radicales son semejantes, se suman o restan igual que terminos algebraicos semejantes: se combinan los coeficientes y el radical se conserva sin cambios.

La regla general se puede escribir asi:

\( a\sqrt[n]{x} \pm b\sqrt[n]{x} = (a \pm b)\sqrt[n]{x} \)

Es decir, se suman o restan los numeros que estan afuera del radical, y el radical \(\sqrt[n]{x}\) se copia tal cual en la respuesta.

Ejemplo 1: radicales ya semejantes

Simplifica \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\).

Como ambos terminos tienen el mismo indice (2) y el mismo radicando (2), son radicales semejantes. Se suman los coeficientes:

\( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)

Ejemplo 2: una resta con tres terminos

Simplifica \(7\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + \sqrt{5}\).

Todos los terminos son radicales semejantes (raiz cuadrada de 5), asi que se combinan los coeficientes \(7\), \(-2\) y \(1\):

\( 7\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = (7 - 2 + 1)\sqrt{5} = 6\sqrt{5} \)

Muchas veces dos radicales parecen distintos, pero en realidad son semejantes una vez que se simplifican. Por eso el primer paso siempre debe ser convertir cada radical a su forma mas simple, tal como se explica en Convirtiendo expresiones radicales a expresiones radicales mixtas.

Por ejemplo, \(\sqrt{12}\) y \(\sqrt{27}\) no se ven iguales, pero al descomponer el radicando en un factor cuadrado perfecto:

\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \)

\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \)

Ahora ambos son radicales semejantes con radicando 3, y se pueden sumar:

\( \sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)

Un error frecuente es sumar los radicandos en lugar de los coeficientes, escribiendo algo como \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{4}\), lo cual es incorrecto. El radicando nunca se modifica al sumar radicales semejantes; solo los coeficientes cambian.

Otro error comun es intentar combinar radicales que no son semejantes, por ejemplo \(2\sqrt{3} + 4\sqrt{5}\). Como los radicandos son diferentes y no se pueden simplificar para igualarse, esta expresion ya esta en su forma mas simple y no se puede reducir a un solo termino; queda como \(2\sqrt{3} + 4\sqrt{5}\).

Tambien conviene tener cuidado con el indice del radical: \(\sqrt{5}\) (raiz cuadrada) y \(\sqrt[3]{5}\) (raiz cubica) nunca son semejantes aunque tengan el mismo radicando. Si necesitas repasar como funcionan las raices con distinto indice, revisa Multiplicando y dividiendo expresiones radicales, donde tambien se trabaja con indices diferentes.

Ejemplo 3: expresion mixta

Simplifica \(2\sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{2}\).

Primero se simplifica cada radical:

\( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \), asi que \(2\sqrt{8} = 2(2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}\)

\( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)

Ahora todos los terminos son radicales semejantes con radicando 2:

\( 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - \sqrt{2} = (4 + 3 - 1)\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)

Para sumar o restar expresiones radicales: primero simplifica cada radical a su forma mas simple, luego identifica cuales son radicales semejantes (mismo indice y mismo radicando), y finalmente suma o resta unicamente los coeficientes dejando el radical sin cambios. Este mismo criterio de identificar terminos semejantes se usara mas adelante al trabajar con exponentes racionales o al convertir entre radicales, como en Exponentes racionales.

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