Gráfica de la función seno (y = sen x)

La gráfica de la función seno muestra cómo cambia el valor de \(y = \sin x\) a medida que \(x\) recorre todos los números reales. En lugar de una recta o una parábola, la gráfica del seno es una onda continua que sube y baja de forma repetitiva entre \(-1\) y \(1\). Esta forma ondulada aparece porque el valor del seno corresponde a la altura vertical de un punto que gira alrededor del círculo unitario.

Entender esta gráfica es clave para trabajar con funciones periódicas, transformaciones trigonométricas y, más adelante, con ecuaciones trigonométricas.

• Periodo: la onda se repite cada \(2\pi\) radianes (equivalente a 360 grados).
• Amplitud: la altura máxima respecto al eje central es \(1\).
• Dominio: todos los números reales, ya que el seno está definido para cualquier valor de \(x\).
• Rango: el intervalo \([-1, 1]\), porque el seno nunca supera esos límites.
• Simetría impar: se cumple que \(\sin(-x) = -\sin x\), por eso la gráfica es simétrica respecto al origen.

Antes de trazar la curva completa, conviene ubicar algunos puntos de referencia dentro de un solo periodo, desde \(x = 0\) hasta \(x = 2\pi\):

• \(x = 0\): \(\sin x = 0\) (la curva parte del origen)
• \(x = \frac{\pi}{2}\): \(\sin x = 1\) (valor máximo)
• \(x = \pi\): \(\sin x = 0\) (cruce por el eje)
• \(x = \frac{3\pi}{2}\): \(\sin x = -1\) (valor mínimo)
• \(x = 2\pi\): \(\sin x = 0\) (termina el ciclo y comienza otro)

Observa que la curva sube desde \(0\) hasta \(1\), vuelve a \(0\), baja hasta \(-1\) y regresa a \(0\), completando así un ciclo de \(2\pi\). Fuera de este intervalo, el mismo patrón se repite indefinidamente hacia la izquierda y hacia la derecha.

Cada valor de \(\sin x\) corresponde a la coordenada vertical de un punto que se mueve sobre el círculo unitario a medida que el ángulo \(x\) aumenta. El siguiente esquema ilustra esa relación para un ángulo agudo.

Al girar el punto una vuelta completa, el segmento rojo (la altura, que representa \(\sin x\)) sube y baja exactamente como la curva de la sección anterior.

1. Dibuja los ejes y marca el eje horizontal en radianes, usando fracciones de \(\pi\).
2. Ubica los puntos clave: \(0\), \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\), \(\frac{3\pi}{2}\) y \(2\pi\), con sus valores de \(y\) correspondientes.
3. Une los puntos con una curva suave, sin esquinas, respetando que el máximo y el mínimo son picos redondeados.
4. Repite el patrón hacia la izquierda y hacia la derecha, ya que el periodo es \(2\pi\).

Grafica \(y = 3\sin x\) e indica su amplitud y su valor en \(x = \frac{\pi}{2}\).

El coeficiente \(3\) multiplica al seno, por lo que la amplitud pasa de \(1\) a \(3\); el rango se estira a \([-3, 3]\), aunque el periodo sigue siendo \(2\pi\), porque el número \(3\) no afecta a \(x\). Para \(x = \frac{\pi}{2}\), sabemos que \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\), así que \(y = 3(1) = 3\), el punto máximo de esta versión estirada de la curva.

La gráfica del seno comparte varias propiedades con otras funciones trigonométricas, pero cada una tiene su propia forma. La gráfica de coseno tiene la misma amplitud y periodo, pero está desplazada respecto al seno. En cambio, la gráfica de tangente no es una onda acotada, sino que presenta asíntotas verticales y un comportamiento muy distinto al del seno y el coseno.

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