Resolver ecuaciones lineales con multiplicación y división

Una ecuación lineal con coeficiente tiene la forma \( ax = b \) o \( \dfrac{x}{a} = b \), donde la variable \(x\) está multiplicada o dividida por un número. Para despejar \(x\), necesitamos "deshacer" esa multiplicación o división aplicando la operación inversa en ambos lados de la ecuación. Este tipo de ecuaciones con coeficientes es uno de los pasos básicos antes de resolver ecuaciones de dos pasos más complejas.

Si ya conoces cómo modelar y resolver ecuaciones lineales de un paso, esta lección profundiza en la técnica específica de usar multiplicación y división cuando el coeficiente no es simplemente 1.

Toda ecuación se comporta como una balanza: lo que hagas en un lado debes hacerlo también en el otro para que se mantenga en equilibrio.

• Propiedad de la división de la igualdad: si \( ax = b \), entonces \( x = \dfrac{b}{a} \), siempre que \( a \ne 0 \).
• Propiedad de la multiplicación de la igualdad: si \( \dfrac{x}{a} = b \), entonces \( x = a \cdot b \).

Resuelve \( 4x = 20 \).

Como \(x\) está multiplicada por 4, dividimos ambos lados entre 4: \( \dfrac{4x}{4} = \dfrac{20}{4} \), lo que da \( x = 5 \).

Resuelve \( -3x = 21 \).

Dividimos ambos lados entre \(-3\): \( x = \dfrac{21}{-3} = -7 \). Recuerda que al dividir entre un número negativo, el signo del resultado cambia.

Resuelve \( \dfrac{2}{5}x = 10 \).

Cuando el coeficiente es una fracción, la forma más directa es multiplicar ambos lados por el recíproco de esa fracción. El recíproco de \( \dfrac{2}{5} \) es \( \dfrac{5}{2} \):

\( \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{2}{5}x = 10 \cdot \dfrac{5}{2} \), entonces \( x = 25 \).

Resuelve \( \dfrac{x}{6} = 9 \).

Aquí \(x\) está dividida entre 6, así que multiplicamos ambos lados por 6: \( x = 9 \cdot 6 = 54 \).

Este mismo razonamiento conecta con las ecuaciones de dos pasos resueltas con sumas y restas: en esas, primero se elimina un término sumado o restado, y después se usa multiplicación o división exactamente como en los ejemplos anteriores.

Después de encontrar el valor de \(x\), sústituyelo en la ecuación original para confirmar que ambos lados son iguales. Por ejemplo, en \( 4x = 20 \) con \( x = 5 \): \( 4 \cdot 5 = 20 \), lo cual es verdadero, así que la solución es correcta.

Practicar primero con ecuaciones de un paso te ayuda a dominar el manejo de operaciones inversas antes de enfrentar ecuaciones con coeficientes más complicados.

Related lessons

• Es Algebra Help