Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El mínimo común múltiplo, o MCM, de dos o más números es el número más pequeño (distinto de cero) que es múltiplo de todos ellos al mismo tiempo. Recuerda que un múltiplo de un número se obtiene al multiplicarlo por un número entero: los múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16, 20, 24... y así sucesivamente sin fin.

Cuando comparamos las listas de múltiplos de varios números, siempre hay valores que se repiten en todas las listas: esos son los múltiplos comunes. El MCM es simplemente el más pequeño de esos múltiplos comunes. Antes de avanzar, puede ayudarte revisar cómo determinar múltiplos comunes, ya que el MCM es solo un caso particular de esa idea.

La forma más directa de encontrar el MCM de dos números es escribir sus múltiplos uno debajo del otro hasta que aparezca el primer valor repetido.

Este método funciona muy bien con números pequeños, pero se vuelve lento cuando los números son grandes o cuando el MCM es muy alto. Para esos casos conviene usar la factorización prima.

La factorización prima descompone cada número en un producto de números primos. Para hallar el MCM con este método:

1. Descompón cada número en sus factores primos.
2. Identifica todos los factores primos distintos que aparecen en cualquiera de los números.
3. Para cada factor primo, toma la mayor potencia con la que aparece en cualquiera de las factorizaciones.
4. Multiplica esas potencias para obtener el MCM.

Tomamos la mayor potencia de cada primo: \(2^2\) y \(3^2\). Entonces \( \)MCM\((12,18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \).

Antes de aplicar este método conviene tener claras las reglas de divisibilidad, ya que te ayudan a reconocer rápidamente por qué números primos se divide una cantidad.

El MCM está estrechamente relacionado con el máximo factor común (MCD). Para dos números \(a\) y \(b\) se cumple la siguiente relación:

\( \)mcm\((a,b) \times \)mcd\((a,b) = a \times b \)

Esto significa que si ya conoces el máximo factor común de dos números, puedes despejar el MCM sin necesidad de repetir todo el proceso de factorización:

\( \)mcm\((a,b) = \dfrac{a \times b}{\)mcd\((a,b)} \)

Por ejemplo, si \(a = 8\), \(b = 12\) y el \( \)mcd\((8,12) = 4 \), entonces \( \)mcm\((8,12) = \dfrac{8 \times 12}{4} = \dfrac{96}{4} = 24 \), el mismo resultado que obtuvimos con la lista de múltiplos.

Calculemos el MCM de 6, 8 y 10 usando factorización prima.

\( 6 = 2 \times 3 \)

\( 8 = 2^3 \)

\( 10 = 2 \times 5 \)

Los primos que aparecen son 2, 3 y 5. Las mayores potencias son \(2^3\), \(3^1\) y \(5^1\). Por lo tanto:

\( \)MCM\((6,8,10) = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120 \)

El MCM se usa constantemente para sumar o restar fracciones con distinto denominador: el denominador común más sencillo es precisamente el MCM de los denominadores originales. También se usa para resolver problemas de horarios repetitivos, como determinar cada cuánto tiempo coinciden dos eventos que ocurren con distinta frecuencia.

Un error frecuente es confundir el MCM con el máximo factor común: el MCM siempre es mayor o igual que los números originales, mientras que el MCD siempre es menor o igual. Otro error es olvidar algún factor primo al comparar las factorizaciones, o tomar la potencia más pequeña en lugar de la más grande. Revisar cada factorización con calma, apoyándote en las reglas de divisibilidad, ayuda a evitar estos descuidos.

Related lessons

• Es Basic Math Help