Problemas de Mareas y Profundidad del Agua en Trigonometria

La profundidad del agua en un puerto o playa no cambia al azar: sube y baja de forma repetitiva a lo largo del dia, siguiendo un patron que se parece mucho a una onda. Ese comportamiento ciclico, con maximos (marea alta) y minimos (marea baja) que se repiten a intervalos regulares, es exactamente lo que describen las funciones seno y coseno. Por eso, los problemas de mareas son una de las aplicaciones clasicas de las funciones trigonometricas periodicas, junto con otros fenomenos ciclicos como el giro de una rueda de la fortuna o el movimiento armonico simple de un resorte.

La mayoria de los problemas de mareas se modelan con una funcion de la forma:

\( h(t) = A\sin(B(t-C)) + D \)

donde:

• \( h(t) \) es la profundidad del agua en el tiempo \( t \), normalmente en metros.
• \( A \) es la amplitud: la mitad de la diferencia entre la profundidad maxima y la minima.
• \( B \) controla el periodo del ciclo mediante \( T = \dfrac{2\pi}{B} \), que suele ser de aproximadamente 12 horas para un ciclo de marea semidiurno.
• \( C \) es el desplazamiento horizontal, es decir, un ajuste en el tiempo que ubica el inicio del ciclo.
• \( D \) es el desplazamiento vertical: la profundidad promedio del agua, a medio camino entre la marea alta y la marea baja.

Tambien se puede usar coseno en lugar de seno; la eleccion depende de si el punto de partida del problema coincide con una marea alta, una marea baja o el nivel promedio.

Supon que en un muelle la marea alta alcanza 12 metros de profundidad y la marea baja llega a 4 metros, con un ciclo completo que dura 12 horas. Primero se calcula la amplitud y el desplazamiento vertical:

\( A = \dfrac{12-4}{2} = 4 \) y \( D = \dfrac{12+4}{2} = 8 \)

Como el ciclo completo dura 12 horas, el valor de \( B \) se obtiene despejando de \( T = \dfrac{2\pi}{B} \):

\( B = \dfrac{2\pi}{12} = \dfrac{\pi}{6} \)

Si ademas se sabe que la profundidad promedio ocurre a las 2:00 a.m. y el agua esta subiendo en ese instante, se puede tomar \( C = 2 \). El modelo queda:

\( h(t) = 4\sin\left(\dfrac{\pi}{6}(t-2)\right) + 8 \)

Usando el modelo anterior, encuentra la profundidad del agua a las 8:00 a.m. (\( t=8 \)):

\( h(8) = 4\sin\left(\dfrac{\pi}{6}(8-2)\right) + 8 = 4\sin(\pi) + 8 \)

Como \( \sin(\pi) = 0 \), se obtiene \( h(8) = 4(0) + 8 = 8 \). A las 8:00 a.m. la profundidad del agua es de 8 metros, exactamente el nivel promedio.

Ahora se busca en que momentos la profundidad es de 10 metros, es decir, se resuelve \( h(t) = 10 \):

\( 4\sin\left(\dfrac{\pi}{6}(t-2)\right) + 8 = 10 \)

Restando 8 y dividiendo entre 4:

\( \sin\left(\dfrac{\pi}{6}(t-2)\right) = \dfrac{1}{2} \)

El angulo de referencia cuyo seno es \( \dfrac{1}{2} \) es \( \dfrac{\pi}{6} \), y dentro de un ciclo hay dos soluciones: \( \dfrac{\pi}{6} \) y \( \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \). Igualando cada una a \( \dfrac{\pi}{6}(t-2) \):

Para \( \dfrac{\pi}{6}(t-2) = \dfrac{\pi}{6} \), se obtiene \( t-2 = 1 \), entonces \( t = 3 \).

Para \( \dfrac{\pi}{6}(t-2) = \dfrac{5\pi}{6} \), se obtiene \( t-2 = 5 \), entonces \( t = 7 \).

Es decir, el agua tiene una profundidad de 10 metros a las 3:00 a.m. y de nuevo a las 7:00 a.m., una vez cuando esta subiendo hacia la marea alta y otra cuando ya esta bajando.

La mayoria de los ejercicios de mareas siguen los mismos pasos:

• Identifica la marea alta y la marea baja para calcular \( A \) y \( D \).
• Usa la duracion del ciclo para hallar \( B \) con \( B = \dfrac{2\pi}{T} \).
• Determina \( C \) a partir de un punto de referencia conocido (por ejemplo, la hora de la marea alta o baja).
• Evalua \( h(t) \) directamente si te piden la profundidad en un instante.
• Resuelve la ecuacion \( h(t) = k \) si te piden encontrar el tiempo en que se alcanza una profundidad especifica, recordando que el seno y el coseno suelen dar dos soluciones por ciclo.

Esta misma estrategia (identificar amplitud, periodo y desplazamientos para luego evaluar o resolver la funcion) se repite en otros contextos periodicos como el giro de una rueda de la fortuna o las oscilaciones de un resorte, asi que dominar el proceso aqui te prepara para reconocerlo en otras situaciones.

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