Movimiento Armónico Simple en un Resorte

Cuando estiras o comprimes un resorte y lo sueltas, el objeto que cuelga de él sube y baja de forma repetitiva alrededor de su punto de equilibrio. Este vaivén se llama movimiento armónico simple, y una de las formas más útiles de describirlo es mediante funciones trigonométricas, porque la posición del objeto en cada instante se comporta exactamente como una onda seno o coseno.

El movimiento armónico simple ocurre cuando la fuerza que devuelve un objeto a su posición de equilibrio es proporcional a su desplazamiento. En un resorte ideal esto se traduce en un vaivén perfectamente periódico: el objeto sube hasta un punto máximo, regresa al centro, baja hasta un punto mínimo y vuelve a subir, repitiendo el ciclo indefinidamente si no hay fricción. Como el patrón se repite de manera idéntica en intervalos de tiempo iguales, podemos describirlo con una función seno o coseno, del mismo modo que se modelan otros fenómenos periódicos como el giro de una rueda de la fortuna o el sube y baja de las mareas.

La posición \( x(t) \) de un objeto sujeto a un resorte, medida desde su punto de equilibrio, se puede escribir como:

\( x(t) = A\cos(\omega t + \varphi) \)

donde cada letra representa una característica del movimiento:

Amplitud \( A \): la elongación máxima del resorte respecto al equilibrio.

Frecuencia angular \( \omega \): qué tan rápido oscila el resorte, medida en radianes por unidad de tiempo.

Fase \( \varphi \): desplaza la gráfica horizontalmente y describe en qué punto del ciclo comienza el movimiento cuando \( t = 0 \).

Si el objeto parte justo desde su elongación máxima, la fase es cero y el modelo se simplifica a \( x(t) = A\cos(\omega t) \). Si en cambio parte desde el equilibrio moviéndose hacia arriba, conviene usar \( x(t) = A\sin(\omega t) \).

El periodo \( T \) es el tiempo que tarda el resorte en completar un ciclo completo, y se relaciona con \( \omega \) mediante:

\( T = \dfrac{2\pi}{\omega} \)

La frecuencia \( f \) indica cuántos ciclos se completan por unidad de tiempo y es el inverso del periodo:

\( f = \dfrac{1}{T} \)

En algunos problemas de física, \( \omega \) también depende de la rigidez del resorte \( k \) y de la masa \( m \) mediante \( \omega = \sqrt{k/m} \), pero para resolver problemas de trigonometría normalmente te darán directamente el periodo o la frecuencia, y tu tarea es traducir esos datos a la ecuación trigonométrica correcta.

Un objeto sujeto a un resorte se estira 5 centímetros hacia arriba y se suelta desde ese punto. Se observa que tarda 4 segundos en completar un ciclo completo. Encuentra la ecuación de su posición \( x(t) \) en cualquier instante \( t \).

Como el objeto parte desde la elongación máxima, usamos coseno: \( A = 5 \). El periodo es \( T = 4 \), así que despejamos \( \omega \) de \( T = \dfrac{2\pi}{\omega} \):

\( \omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} \)

La ecuación del movimiento queda:

\( x(t) = 5\cos\left(\dfrac{\pi}{2}t\right) \)

La siguiente gráfica muestra cómo la posición del objeto oscila entre 5 y menos 5 centímetros a lo largo del tiempo, completando un ciclo cada 4 segundos.

Usando el modelo anterior, \( x(t) = 5\cos\left(\dfrac{\pi}{2}t\right) \), determina el primer instante \( t \ge 0 \) en que el objeto se encuentra a 2.5 centímetros por encima del equilibrio.

Planteamos la ecuación y despejamos \( t \):

\( 2.5 = 5\cos\left(\dfrac{\pi}{2}t\right) \)

\( \dfrac{1}{2} = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}t\right) \)

\( \dfrac{\pi}{2}t = \cos^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} \)

\( t = \dfrac{\pi}{3} \times \dfrac{2}{\pi} = \dfrac{2}{3} \)

El objeto pasa por 2.5 centímetros de elongación aproximadamente 0.67 segundos después de soltarlo. Ten en cuenta que, por la naturaleza periódica del coseno, esta posición se repite en instantes posteriores; si el problema pide "el primer instante", basta con la solución dentro del primer ciclo.

Antes de plantear la ecuación, identifica siempre tres datos: la amplitud (la mayor elongación observada), el periodo o la frecuencia (cada cuánto se repite el ciclo) y la posición inicial (si empieza en el máximo, en el mínimo o en el equilibrio). Esa última pista te dice si conviene usar seno o coseno, o si necesitas agregar una fase \( \varphi \). Una vez que tengas la ecuación completa, sustituir un valor de \( t \) o despejar \( t \) a partir de una posición dada es un procedimiento algebraico igual al que usarías en cualquier otro problema trigonométrico con seno y coseno.

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