Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades pitagóricas

Las identidades pitagóricas son relaciones que se cumplen para cualquier ángulo \( \theta \), derivadas directamente del teorema de Pitágoras aplicado al círculo unitario. Cuando una ecuación trigonométrica mezcla dos funciones distintas, como seno y coseno, o tangente y secante, estas identidades permiten reescribir todo en términos de una sola función. Esto convierte la ecuación en algo que ya sabes resolver, normalmente una ecuación cuadrática.

Existen tres versiones, todas equivalentes entre sí porque provienen de la misma relación básica:

\( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)

\( \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \)

\( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta \)

La siguiente figura muestra por qué la primera identidad es siempre válida: en el círculo unitario, el radio mide 1, y los catetos del triángulo formado son \( \cos\theta \) y \( \sin\theta \). Por el teorema de Pitágoras, la suma de sus cuadrados siempre da 1.

Otra forma de verlo es notar que esta suma nunca cambia sin importar el valor de \( x \), como muestra la gráfica siguiente: la curva es en realidad una recta horizontal constante en \( y = 1 \).

Cuando una ecuación trigonométrica combina dos funciones relacionadas por una identidad pitagórica, sigue estos pasos:

1. Identifica qué funciones aparecen y elige la identidad pitagórica correspondiente.

2. Sustituye una de las funciones para dejar la ecuación en términos de una sola función trigonométrica.

3. Trata esa función como una variable y resuelve la ecuación cuadrática resultante, igual que en las ecuaciones trigonométricas de segundo grado.

4. Despeja el ángulo para cada solución obtenida, considerando el intervalo dado.

5. Verifica cada solución en la ecuación original y descarta valores fuera del dominio permitido.

Si la ecuación ya viene en una sola función sin necesidad de sustitución, en realidad estás resolviendo una ecuación trigonométrica de primer grado, un caso más sencillo.

Resuelve \( 2\cos^2 x + \sin x - 1 = 0 \) para \( x \) en el intervalo \( [0, 2\pi) \).

Paso 1: la ecuación mezcla \( \cos^2 x \) y \( \sin x \), así que usamos \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).

Paso 2: sustituimos y simplificamos: \( 2(1 - \sin^2 x) + \sin x - 1 = 0 \), que se convierte en \( -2\sin^2 x + \sin x + 1 = 0 \).

Paso 3: multiplicamos por \( -1 \) para trabajar con coeficientes positivos: \( 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \).

Paso 4: hacemos \( u = \sin x \) y factorizamos: \( (2u + 1)(u - 1) = 0 \), lo que da \( u = -\dfrac{1}{2} \) o \( u = 1 \).

Paso 5: resolvemos cada caso dentro de \( [0, 2\pi) \). Si \( \sin x = 1 \), entonces \( x = \dfrac{\pi}{2} \). Si \( \sin x = -\dfrac{1}{2} \), entonces \( x = \dfrac{7\pi}{6} \) o \( x = \dfrac{11\pi}{6} \).

Las soluciones finales son \( x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6} \).

Después de resolver, sustituye cada valor de \( x \) en la ecuación original para confirmar que la igualdad se cumple. También es importante revisar que ninguna solución caiga en un punto donde la función original no esté definida, especialmente cuando aparecen tangente, cotangente, secante o cosecante en la ecuación de partida. Para repasar cómo identificar esos casos, consulta cómo determinar valores no permitidos para funciones trigonométricas.

Elegir la identidad equivocada es el error más frecuente: si la ecuación tiene tangente y secante, no sirve sustituir con la identidad de seno y coseno. Otro error común es olvidar que al sustituir \( u \) por una función trigonométrica, cada valor de \( u \) puede generar varias soluciones angulares dentro del intervalo. Por último, muchos estudiantes olvidan verificar el dominio, lo que puede llevar a aceptar una solución que en realidad no es válida.

Related lessons

• Es Trigonometry Help