Problemas de trigonometría de la rueda de la fortuna

Una rueda de la fortuna gira a velocidad constante, así que la altura de cualquier cabina sobre el suelo sube y baja de forma perfectamente periódica. Ese comportamiento es exactamente lo que describen las funciones seno y coseno, lo que convierte a la rueda de la fortuna en uno de los ejemplos más claros para practicar trigonometría aplicada al movimiento circular.

Piensa en una cabina que se mueve alrededor del centro de la rueda. Si \(r\) es el radio de la rueda y \(\theta\) es el ángulo que ha girado la cabina desde su posición inicial, la altura de la cabina sobre el nivel del centro es \(r\sin(\theta)\) o \(r\cos(\theta)\), según dónde comience el recorrido. Para obtener la altura real sobre el suelo, hay que sumar la altura a la que está el centro de la rueda.

El modelo general para la altura de una cabina en el instante \(t\) es:

\( h(t) = A\sin(Bt + C) + D \)

o de forma equivalente con coseno, según convenga:

\( h(t) = A\cos(Bt + C) + D \)

Cada parámetro tiene un significado físico directo:

• \(A\) es la amplitud, igual al radio \(r\) de la rueda.
• \(D\) es el desplazamiento vertical, la altura del centro de la rueda sobre el suelo.
• \(B\) controla el periodo mediante \( T = \dfrac{2\pi}{B} \), donde \(T\) es el tiempo que tarda la rueda en dar una vuelta completa.
• \(C\) es el desplazamiento de fase, que ajusta el modelo según el punto donde empieza a contar el tiempo (por ejemplo, si la cabina parte desde abajo o desde arriba).

Cuando la cabina inicia en el punto más bajo de la rueda, conviene usar un coseno invertido, \( h(t) = -A\cos(Bt) + D \), porque en \(t = 0\) esta expresión da \(h(0) = D - A\), que es precisamente la altura mínima.

Una rueda de la fortuna tiene un radio de \(20\) metros y su centro está a \(22\) metros del suelo. La rueda completa una vuelta cada \(40\) segundos, y una cabina parte del punto de carga, en la parte más baja.

Con \(A = 20\), \(D = 22\) y periodo \(T = 40\), el valor de \(B\) se obtiene de \( T = \dfrac{2\pi}{B} \), así que \( B = \dfrac{2\pi}{40} = \dfrac{\pi}{20} \).

Como la cabina empieza abajo, el modelo es:

\( h(t) = -20\cos\left(\dfrac{\pi}{20}t\right) + 22 \)

Para comprobar el modelo, evalúa algunos instantes:

• En \(t = 0\): \( h(0) = -20\cos(0) + 22 = -20 + 22 = 2 \), la altura del punto de carga.
• En \(t = 10\): \( h(10) = -20\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + 22 = 0 + 22 = 22 \), la cabina pasa por la altura del centro, subiendo.
• En \(t = 20\): \( h(20) = -20\cos(\pi) + 22 = 20 + 22 = 42 \), la altura máxima, en la parte más alta de la vuelta.

La gráfica siguiente muestra cómo la altura sube y baja de manera continua durante una vuelta completa:

Observa que la curva empieza en la altura mínima, sube hasta la altura máxima a mitad de la vuelta y regresa al punto de carga cuando \(t = 40\), repitiendo el mismo patrón en la siguiente vuelta.

El mismo tipo de modelo aparece en muchos otros contextos donde algo sube y baja de forma repetitiva. Si ya estudiaste cómo cambia la profundidad del agua con las mareas, notarás que se usa exactamente la misma estructura de amplitud, periodo y desplazamiento vertical. Lo mismo ocurre con el movimiento armónico simple de un resorte, donde la posición también oscila siguiendo una función seno o coseno alrededor de un punto de equilibrio.

Dominar el caso de la rueda de la fortuna te da una base sólida para reconocer y modelar cualquier situación real donde una cantidad varía de forma periódica en el tiempo.

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