Identidades del Ángulo Doble

Las identidades del ángulo doble son fórmulas que permiten expresar \(\sin(2\theta)\), \(\cos(2\theta)\) y \(\tan(2\theta)\) únicamente en términos de \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) o \(\tan\theta\). En lugar de trabajar con el ángulo \(2\theta\) directamente, estas identidades permiten reescribir la expresión usando el ángulo original \(\theta\), lo cual es muy útil para simplificar expresiones, demostrar otras identidades y resolver ecuaciones trigonométricas.

Estas fórmulas no aparecen de la nada: son un caso particular de las identidades de suma y diferencia. Si en la identidad de la suma para el seno hacemos que ambos ángulos sean iguales a \(\theta\), obtenemos:

\( \sin(\theta + \theta) = \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta \)

Al simplificar el lado derecho se llega directamente a la identidad del seno del ángulo doble. El mismo procedimiento, aplicado a la identidad de suma del coseno, da lugar a la fórmula del coseno del ángulo doble.

Existen tres identidades básicas del ángulo doble, una para cada función trigonométrica principal:

\( \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta \)

\( \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta \)

\( \tan(2\theta) = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} \)

La identidad de la tangente se obtiene dividiendo la fórmula del seno por la del coseno del ángulo doble, y puede relacionarse con las identidades cociente y recíprocas cuando se trabaja con expresiones que mezclan seno, coseno y tangente.

La identidad \( \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta \) tiene dos variantes muy útiles que se obtienen sustituyendo con las identidades pitagóricas, ya que \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \):

\( \cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 \)

\( \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta \)

Elegir cuál de las tres formas usar depende de qué información se conoce en el problema: si solo se tiene \(\sin\theta\), conviene usar la forma con seno; si solo se tiene \(\cos\theta\), conviene usar la forma con coseno.

La gráfica siguiente muestra cómo se comporta \( y = \sin(2\theta) \). Nota que completa un ciclo completo en la mitad del tiempo que tarda \( y = \sin\theta \), porque el ángulo se duplica.

Si \( \sin\theta = \dfrac{3}{5} \) y \(\theta\) está en el primer cuadrante, encuentra \( \sin(2\theta) \) y \( \cos(2\theta) \).

Como \(\theta\) está en el primer cuadrante, \( \cos\theta = \dfrac{4}{5} \) (usando el triángulo 3, 4, 5). Entonces:

\( \sin(2\theta) = 2\left(\dfrac{3}{5}\right)\left(\dfrac{4}{5}\right) = \dfrac{24}{25} \)

\( \cos(2\theta) = 1 - 2\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{18}{25} = \dfrac{7}{25} \)

Simplifica \( \dfrac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} \).

Esta expresión coincide exactamente con la forma de la identidad de la tangente del ángulo doble, por lo que se simplifica directamente a:

\( \tan(2x) \)

Resuelve \( \sin(2x) = \sin x \) para \( 0 \le x < 2\pi \).

Sustituye \( \sin(2x) = 2\sin x\cos x \):

\( 2\sin x\cos x - \sin x = 0 \)

\( \sin x (2\cos x - 1) = 0 \)

Entonces \( \sin x = 0 \) o \( \cos x = \dfrac{1}{2} \), lo que da \( x = 0, \pi, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3} \).

Un error frecuente es escribir \( \sin(2\theta) = 2\sin\theta \), olvidando el factor \( \cos\theta \). Otro error común es confundir las tres formas del coseno del ángulo doble y usar la que no corresponde a los datos disponibles del problema. Revisar siempre qué información se conoce (seno, coseno o tangente del ángulo original) ayuda a elegir la forma correcta de cada identidad.

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