Probabilidad con Permutaciones y Combinaciones

Cuando un problema de probabilidad involucra contar arreglos o grupos de elementos, no siempre basta con contar a mano. En muchos casos, el número de resultados posibles es tan grande que necesitamos herramientas de conteo como las permutaciones y las combinaciones para calcular tanto los casos favorables como los casos totales antes de dividir.

La probabilidad clásica de un evento \(A\) se define como la razón entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles:

\( P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)} \)

El reto en este tipo de problemas no está en la fórmula, sino en contar correctamente \(n(A)\) y \(n(S)\). Cuando el orden de los elementos afecta el resultado, se usan permutaciones; cuando el orden no importa y solo interesa el grupo formado, se usan combinaciones.

Antes de calcular cualquier probabilidad, conviene preguntarse: si cambio el orden de los elementos elegidos, ¿el resultado cuenta como diferente? Si la respuesta es sí, se trata de una permutación. Si la respuesta es no, se trata de una combinación.

Si aún no tienes claras las fórmulas de conteo de cada caso, revisa primero la lección de principio fundamental de conteo, que es la base de ambas ideas.

Las fórmulas de permutación y combinación se combinan con la fórmula de probabilidad clásica:

Permutación de \(n\) elementos tomados de \(r\) en \(r\): \( _nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!} \)

Combinación de \(n\) elementos tomados de \(r\) en \(r\): \( _nC_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \)

Estas expresiones dependen del factorial de un número, así que si necesitas recordar cómo se calcula \(n!\), puedes consultarlo con calma en el resto del curso.

En una carrera participan 8 corredores. ¿Cuál es la probabilidad de que Ana, Beto y Carla ocupen exactamente los tres primeros lugares, en cualquier orden entre ellos?

Casos totales: número de formas de ordenar a 3 corredores en los 3 primeros lugares entre los 8 posibles.

\( n(S) = {}_8P_3 = \dfrac{8!}{(8-3)!} = 336 \)

Casos favorables: número de formas de ordenar únicamente a Ana, Beto y Carla en esos tres lugares.

\( n(A) = 3! = 6 \)

Probabilidad:

\( P(A) = \dfrac{6}{336} = \dfrac{1}{56} \approx 0.0179 \)

Una bolsa contiene 5 canicas rojas y 3 canicas azules. Si se seleccionan 3 canicas al azar, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 rojas y 1 azul?

Casos totales: formas de elegir 3 canicas entre las 8 disponibles, sin importar el orden.

\( n(S) = {}_8C_3 = \dfrac{8!}{3!(8-3)!} = 56 \)

Casos favorables: elegir 2 rojas de las 5 disponibles y 1 azul de las 3 disponibles.

\( n(A) = {}_5C_2 \times {}_3C_1 = 10 \times 3 = 30 \)

Probabilidad:

\( P(A) = \dfrac{30}{56} = \dfrac{15}{28} \approx 0.5357 \)

Lee el problema buscando pistas: palabras como "en orden", "primero, segundo, tercero" o "código" suelen indicar permutaciones, mientras que palabras como "grupo", "equipo" o "selección" suelen indicar combinaciones. Algunos problemas incluso mezclan ambas ideas: una parte del resultado depende del orden y otra parte no. Ese tipo de situaciones se estudia con más detalle en problemas que combinan permutaciones y combinaciones, una vez que domines cada fórmula por separado.

En resumen, resolver probabilidad con permutaciones y combinaciones siempre sigue el mismo camino: identificar si el orden importa, calcular los casos totales, calcular los casos favorables y dividir. Practicar con distintos escenarios, desde carreras hasta selecciones de objetos, ayuda a reconocer rápidamente qué fórmula de conteo usar en cada parte del problema.

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