En esta lección se explica la conexión entre las variables aleatorias continuas y la distribución normal, incluyendo la función de densidad de probabilidad, sus propiedades y cómo interpretar el área bajo la curva como probabilidad, con un ejemplo resuelto paso a paso.
Introduction
Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, a diferencia de una variable discreta que solo toma valores separados (como 1, 2, 3...). Ejemplos típicos son la estatura de una persona, el tiempo que tarda un proceso o el peso de un objeto. Como puede tomar infinitos valores posibles dentro de un rango, no tiene sentido hablar de la probabilidad de un valor exacto; en su lugar, trabajamos con la probabilidad de que la variable caiga dentro de un intervalo.
Función de densidad de probabilidad
Para describir el comportamiento de una variable aleatoria continua se usa una función de densidad de probabilidad, denotada \( f(x) \). Esta función no da directamente una probabilidad, sino que su área bajo la curva entre dos puntos representa la probabilidad de que la variable tome un valor en ese intervalo. Dos condiciones deben cumplirse siempre:
\( f(x) \ge 0 \) para todo valor de \( x \), y el área total bajo la curva es igual a 1, es decir \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 \).
La distribución normal como caso particular
La distribución normal es la distribución continua de probabilidad más importante en estadística. Su gráfica tiene forma de campana, es simétrica respecto a la media \( \mu \), y su dispersión está controlada por la desviación estándar \( \sigma \). La función de densidad de la distribución normal es:
Cuando \( \mu = 0 \) y \( \sigma = 1 \), se obtiene la distribución normal estándar, que sirve como referencia para calcular probabilidades mediante variables normalizadas. Si aún no conoces las características básicas de esta curva, conviene repasar primero la introducción a la distribución normal.
Curva de densidad de una distribución normal estándar, simétrica respecto a la media.
Cómo calcular probabilidades con la distribución normal
Como la variable es continua, la probabilidad de un valor exacto es cero; lo que se calcula siempre es la probabilidad de un intervalo. Esto se representa como el área bajo la curva entre dos valores, por ejemplo \( P(a < x < b) \). En la práctica, esta área se obtiene usando tablas de valores normalizados o software, después de convertir los datos a una escala estándar.
Aproximadamente el 68 por ciento del área bajo la curva se encuentra entre \( \mu - \sigma \) y \( \mu + \sigma \), cerca del 95 por ciento entre \( \mu - 2\sigma \) y \( \mu + 2\sigma \), y cerca del 99.7 por ciento entre \( \mu - 3\sigma \) y \( \mu + 3\sigma \). Esta relación es la base de la regla empírica.
Ejemplo resuelto
Supongamos que el tiempo que tarda un estudiante en resolver un examen sigue una distribución normal con media \( \mu = 60 \) minutos y desviación estándar \( \sigma = 8 \) minutos. Para encontrar la probabilidad de que un estudiante tarde entre 52 y 68 minutos, observamos que este intervalo corresponde exactamente a \( \mu - \sigma \) y \( \mu + \sigma \). Por la regla empírica, esta probabilidad es aproximadamente 0.68, es decir, el 68 por ciento de los estudiantes terminan dentro de ese rango de tiempo.
Este tipo de razonamiento con variables aleatorias continuas es también la base para entender cómo se comportan los promedios de muestras grandes, un tema que se profundiza en el teorema del límite central.