Medidas de Posición Relativa: Puntuación Z, Cuartiles y Percentiles

Las medidas de posición relativa responden a una pregunta muy concreta: dentro de todo un conjunto de datos, ¿en qué lugar exacto se encuentra un valor particular? No basta con conocer el promedio; también necesitamos saber si un dato está muy por encima, muy por debajo o cerca del centro del grupo. Las tres herramientas más usadas para esto son la puntuación z, los cuartiles y los percentiles.

La puntuación z indica cuántas desviaciones estándar se aleja un dato de la media del conjunto. Se calcula con la fórmula:

\( z = \dfrac{x - \mu}{\sigma} \)

donde \( x \) es el dato que analizamos, \( \mu \) es la media y \( \sigma \) es la desviación estándar. Un valor de \( z \) positivo significa que el dato está por encima de la media, mientras que un valor negativo indica que está por debajo. Cuanto mayor sea el valor absoluto de \( z \), más alejado (o más inusual) es ese dato respecto al resto. Como esta fórmula depende directamente de \( \sigma \), conviene repasar primero cómo se obtiene ese valor en Dispersión de un conjunto de datos: Desviación estándar y varianza.

Ejemplo: en un examen, la media fue \( \mu = 70 \) y la desviación estándar \( \sigma = 8 \). Un estudiante obtuvo \( x = 82 \). Su puntuación z es:

\( z = \dfrac{82 - 70}{8} = 1.5 \)

Esto significa que el estudiante quedó 1.5 desviaciones estándar por encima del promedio del grupo.

Los cuartiles dividen un conjunto de datos ordenado en cuatro partes con aproximadamente la misma cantidad de valores. \( Q_1 \) (primer cuartil) deja el 25 por ciento de los datos por debajo, \( Q_2 \) coincide con la mediana y deja el 50 por ciento por debajo, y \( Q_3 \) deja el 75 por ciento por debajo.

Ejemplo: ordena el conjunto 4, 8, 15, 16, 23, 42.

La mediana \( Q_2 \) es el promedio de los dos valores centrales, 15 y 16, es decir \( Q_2 = 15.5 \). La mitad inferior es 4, 8, 15, cuya mediana es \( Q_1 = 8 \). La mitad superior es 16, 23, 42, cuya mediana es \( Q_3 = 23 \).

Un percentil funciona igual que un cuartil, pero con una escala más fina: divide los datos en cien partes en lugar de cuatro. El percentil de un dato indica el porcentaje de valores del conjunto que quedan por debajo de él. Una forma práctica de estimarlo es:

\( P = \dfrac{n}{N}\times 100 \)

donde \( n \) es el número de datos menores que el valor analizado y \( N \) es el número total de datos. Por ejemplo, si un estudiante obtuvo una calificación superior a la de 45 de sus 50 compañeros, su rango percentil es:

\( P = \dfrac{45}{50}\times 100 = 90 \)

Ese estudiante se ubica en el percentil 90: superó al 90 por ciento del grupo.

Los cuartiles son en realidad percentiles particulares: \( Q_1 \) equivale al percentil 25, \( Q_2 \) al percentil 50 (la mediana) y \( Q_3 \) al percentil 75. Por eso, cuando ya conoces los percentiles de un conjunto, puedes leer los cuartiles directamente de esa misma escala sin repetir cálculos.

Cuando los datos siguen aproximadamente una distribución normal, la puntuación z permite estimar directamente el percentil de un dato, porque cada valor de z corresponde a un porcentaje conocido del área bajo la curva. Por ejemplo, un dato con \( z = 1 \) se ubica cerca del percentil 84, y un dato con \( z = 2 \) se ubica cerca del percentil 98. El siguiente esquema muestra la curva normal estándar con algunos valores de z marcados.

Observa cómo, a medida que \( z \) se aleja de cero (la media), el área acumulada a la izquierda crece, lo que corresponde a un percentil más alto.

La puntuación z, los cuartiles y los percentiles no cambian el valor de un dato, pero sí cambian la forma en que lo interpretamos: nos dicen su posición relativa dentro del grupo. Esto es especialmente útil para comparar resultados de exámenes, tiempos de carrera, mediciones médicas o cualquier conjunto de datos donde importa saber si un valor es típico, alto o bajo en comparación con los demás.

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