Probabilidad Condicional

La probabilidad condicional aparece cuando la información sobre un evento cambia la probabilidad de otro. En lugar de preguntar "¿cuál es la probabilidad de A?", preguntamos "¿cuál es la probabilidad de A si ya sabemos que ocurrió B?". Este tipo de razonamiento es una extensión directa de los conceptos vistos en la introducción a probabilidad y es una herramienta clave en estadística.

La probabilidad condicional de A dado B, escrita como \( P(A|B) \), es la probabilidad de que ocurra el evento A sabiendo que el evento B ya sucedió. Esta condición reduce el espacio muestral original: ya no consideramos todos los resultados posibles, sino únicamente aquellos en los que B es cierto.

La fórmula que relaciona la probabilidad condicional con la probabilidad conjunta es:

\( P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \), siempre que \( P(B) \ne 0 \)

Aquí, \( P(A \cap B) \) es la probabilidad de que A y B ocurran al mismo tiempo, y \( P(B) \) es la probabilidad de que ocurra el evento condicionante. Dividir entre \( P(B) \) equivale a "reescalar" el espacio muestral para que B se convierta en el nuevo universo de posibilidades.

Un diagrama de Venn ayuda a ver por qué la fórmula funciona: al condicionar en B, solo miramos la parte del diagrama que pertenece a B, y dentro de esa región buscamos la parte que también pertenece a A.

Se lanza un dado justo de seis caras. Sea A el evento "el resultado es par" y B el evento "el resultado es menor que 5".

Los resultados posibles son \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). Entonces \( A = \{2, 4, 6\} \) y \( B = \{1, 2, 3, 4\} \), por lo que \( A \cap B = \{2, 4\} \).

Calculamos cada probabilidad sobre los seis resultados totales:

\( P(A \cap B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \)

\( P(B) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \)

Aplicando la fórmula:

\( P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{2} \)

Es decir, si ya sabemos que el resultado es menor que 5, la probabilidad de que además sea par es de \( \dfrac{1}{2} \), distinta de la probabilidad original de obtener un número par, que era \( \dfrac{1}{2} \) sobre todo el espacio, pero calculada aquí sobre un subconjunto diferente de resultados.

Las tablas de contingencia son muy útiles cuando los datos vienen de encuestas o de organizando resultados en categorías. Supongamos esta encuesta a 100 estudiantes sobre su materia favorita y su grado escolar:

Si queremos calcular la probabilidad de que un estudiante sea de grado 9 dado que prefiere matemáticas, definamos G9 como "es de grado 9" y M como "prefiere matemáticas". Entonces:

\( P(G9 \cap M) = \dfrac{25}{100} = 0.25 \) y \( P(M) = \dfrac{45}{100} = 0.45 \)

\( P(G9|M) = \dfrac{0.25}{0.45} \approx 0.556 \)

Así, entre los estudiantes que prefieren matemáticas, aproximadamente el 55.6% son de grado 9.

Cuando dos eventos son independientes, saber que ocurrió uno no cambia la probabilidad del otro, es decir, \( P(A|B) = P(A) \). Este caso especial se estudia a fondo en probabilidad de eventos independientes. Si en cambio \( P(A|B) \ne P(A) \), decimos que A y B son eventos dependientes, y la probabilidad condicional refleja esa relación.

La probabilidad condicional también aparece al reordenar la regla de la multiplicación: \( P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) \). Esta idea se combina frecuentemente con la regla de la suma de probabilidades cuando se analizan eventos que se solapan, y con la comparación entre resultados esperados y observados que se explora al estudiar la probabilidad teórica y experimental.

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