Explicacion clara del teorema del limite central para estadistica: su enunciado, las condiciones para aplicarlo, las formulas de la media y la desviacion estandar de la distribucion muestral, y un ejemplo resuelto con puntuaciones z para calcular probabilidades sobre medias de muestras.
Que dice el teorema del limite central
El teorema del limite central es una de las ideas mas importantes de la estadistica inferencial. Afirma que si se toman muestras aleatorias suficientemente grandes de cualquier poblacion (sin importar si esa poblacion tiene una distribucion normal, sesgada, uniforme o de cualquier otra forma), la distribucion de las medias muestrales \( \bar{x} \) se aproxima a una distribucion normal a medida que el tamano de la muestra \( n \) aumenta.
Esto es sorprendente porque no importa como se vea la poblacion original: al promediar muchas muestras del mismo tamano, esos promedios se acomodan alrededor de una campana simetrica. Esta propiedad es la base de casi todos los metodos de inferencia estadistica, desde intervalos de confianza hasta pruebas de hipotesis.
Condiciones para aplicar el teorema
En la practica se usa esta regla sencilla:
Si la poblacion original ya es normal, la distribucion de \( \bar{x} \) es normal para cualquier tamano de muestra \( n \).
Si la poblacion no es normal (o se desconoce su forma), se necesita un tamano de muestra de al menos \( n \ge 30 \) para que la aproximacion normal sea confiable.
Las muestras deben tomarse de manera aleatoria e independiente entre si.
La media y la desviacion estandar de la distribucion muestral
Si una poblacion tiene media \( \mu \) y desviacion estandar \( \sigma \), y se toman muestras de tamano \( n \), entonces la distribucion de las medias muestrales cumple lo siguiente:
La media de la distribucion muestral es igual a la media de la poblacion: \( \mu_{\bar{x}} = \mu \).
La desviacion estandar de la distribucion muestral (llamada tambien error estandar) es \( \sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \).
Nota que a medida que \( n \) crece, el error estandar se reduce, lo que significa que las medias muestrales se agrupan cada vez mas cerca de \( \mu \). Este comportamiento es el mismo que se estudia con las distribuciones muestrales en general, y el teorema del limite central es justamente lo que explica por que esas distribuciones toman forma de campana.
La distribucion de las medias muestrales se aproxima a una curva normal estandar centrada en cero.
Usando puntuaciones z con medias muestrales
Una vez que se sabe que \( \bar{x} \) sigue (aproximadamente) una distribucion normal, se puede estandarizar una media muestral igual que se hace con un valor individual, pero usando el error estandar en lugar de \( \sigma \):
\( z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \)
Una poblacion tiene media \( \mu = 100 \) y desviacion estandar \( \sigma = 15 \). Se toma una muestra aleatoria de \( n = 36 \) elementos. Se quiere calcular la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 103.
Primero se calcula el error estandar: \( \sigma_{\bar{x}} = \dfrac{15}{\sqrt{36}} = \dfrac{15}{6} = 2.5 \).
Luego se convierte 103 a una puntuacion z: \( z = \dfrac{103 - 100}{2.5} = 1.2 \).
Buscando en la tabla normal estandar, el area a la derecha de \( z = 1.2 \) es aproximadamente 0.1151. Por lo tanto, hay alrededor de un 11.51 por ciento de probabilidad de que la media de esta muestra supere 103, gracias a que \( n = 36 \) es suficientemente grande para aplicar el teorema del limite central.
Por que importa este teorema
El teorema del limite central permite usar todas las herramientas de la distribucion normal (tablas, puntuaciones z, calculos de probabilidad) incluso cuando la poblacion original no es normal. Es tambien el fundamento detras de por que ciertos resultados poco probables llaman la atencion, una idea que se conecta con la regla del evento raro al interpretar valores extremos en una muestra.