Polígonos Semejantes

Dos polígonos son semejantes cuando tienen exactamente la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño. Esto significa que uno es una versión ampliada o reducida del otro, como una foto agrandada o una copia a menor escala. Para que esto ocurra, no basta con que "se vean parecidos": deben cumplirse dos condiciones matemáticas precisas al mismo tiempo, que veremos a continuación.

El símbolo que se usa para indicar semejanza es \( \sim \). Si el polígono \( ABCD \) es semejante al polígono \( A'B'C'D' \), se escribe \( ABCD \sim A'B'C'D' \), y el orden de las letras importa porque indica qué vértices, lados y ángulos se corresponden entre sí.

Para que dos polígonos sean semejantes deben cumplirse simultáneamente estas dos condiciones:

1. Los ángulos correspondientes son congruentes. Cada ángulo de un polígono debe medir exactamente lo mismo que su ángulo correspondiente en el otro polígono.

2. Los lados correspondientes son proporcionales. Al dividir la longitud de cada lado de un polígono entre la longitud de su lado correspondiente en el otro, siempre se obtiene el mismo número.

Si solo se cumple una de las dos condiciones, los polígonos no son semejantes. Por ejemplo, un cuadrado y un rectángulo tienen todos los ángulos congruentes (90 grados), pero sus lados no siempre son proporcionales, así que en general no son semejantes.

La razón de semejanza, también llamada factor de escala, es el número constante que se obtiene al dividir cada lado de un polígono entre su lado correspondiente en el otro polígono semejante. Si \( a \) es un lado del primer polígono y \( a' \) es su lado correspondiente en el segundo, la razón de semejanza es:

\( k = \dfrac{a'}{a} \)

Este mismo valor de \( k \) debe aparecer al comparar cualquier par de lados correspondientes de los dos polígonos. Este es el mismo factor de escala que se usa al trabajar con ampliaciones y reducciones con factores de escala, y también aparece al interpretar diagramas de escalas en mapas y planos.

Los cuadriláteros de la figura anterior tienen lados \( 8, 10, 12, 14 \) en el primero y \( 12, 15, 18, 21 \) en el segundo, en el mismo orden de correspondencia. Además, los ángulos correspondientes son congruentes según los arcos marcados. Para confirmar la semejanza, se comparan las razones de los lados correspondientes:

\( \dfrac{12}{8} = 1.5 \qquad \dfrac{15}{10} = 1.5 \qquad \dfrac{18}{12} = 1.5 \qquad \dfrac{21}{14} = 1.5 \)

Como las cuatro razones son iguales a \( 1.5 \) y los ángulos correspondientes son congruentes, los dos cuadriláteros son semejantes, con razón de semejanza \( k = 1.5 \). Este mismo procedimiento (comparar ángulos y luego verificar que todas las razones de los lados coincidan) es el que se usa al analizar triángulos semejantes, que son simplemente el caso particular de polígonos semejantes con tres lados.

Cuando dos polígonos son semejantes con razón de semejanza \( k \), esta relación se extiende también al perímetro y al área:

El perímetro escala en la misma proporción que los lados: \( P' = k \cdot P \).

El área escala con el cuadrado de la razón de semejanza: \( A' = k^2 \cdot A \).

Siguiendo el ejemplo anterior, el perímetro del primer cuadrilátero es \( 8 + 10 + 12 + 14 = 44 \), y el del segundo es \( 12 + 15 + 18 + 21 = 66 \). En efecto, \( 66 \div 44 = 1.5 \), que coincide con la razón de semejanza. Si el área del primer cuadrilátero fuera \( 40 \) unidades cuadradas, el área del segundo sería \( 40 \times 1.5^2 = 40 \times 2.25 = 90 \) unidades cuadradas, no simplemente \( 40 \times 1.5 \).

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