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Bisectriz Perpendicular (Mediatriz de un Segmento)

Explicacion completa de la bisectriz perpendicular (mediatriz) de un segmento: definicion, teorema de equidistancia, construccion con compas y regla, y como hallarla en el plano cartesiano usando el punto medio y la pendiente perpendicular, con un ejemplo resuelto paso a paso.

Introduction

Una bisectriz perpendicular, tambien llamada mediatriz, es la recta que corta un segmento exactamente en su punto medio formando un angulo de \(90^\circ\) con el. A diferencia de una bisectriz de angulo, que divide un angulo en dos partes iguales, la mediatriz trabaja sobre un segmento de recta y siempre cumple dos condiciones al mismo tiempo: pasa por el punto medio y es perpendicular al segmento.

El teorema de la bisectriz perpendicular

La propiedad mas util de la mediatriz es esta: cualquier punto que se encuentre sobre la bisectriz perpendicular de un segmento \(AB\) esta a la misma distancia de \(A\) que de \(B\). En simbolos, si \(P\) esta sobre la mediatriz de \(AB\), entonces \(PA = PB\). Este resultado tambien es cierto al reves: si un punto es equidistante de \(A\) y de \(B\), debe estar sobre la mediatriz. Esta idea de equidistancia es la base de muchas demostraciones formales, similares a las que se trabajan en pruebas con lineas perpendiculares.

Como construir una bisectriz perpendicular

Con compas y regla, la construccion clasica sigue estos pasos:

Coloca la punta del compas en el extremo \(A\) del segmento y traza un arco amplio que pase por arriba y por debajo del segmento.
Sin cambiar la abertura del compas, coloca la punta en el extremo \(B\) y traza otro arco que cruce al primero en dos puntos.
Une esos dos puntos de interseccion con una recta: esa recta es la bisectriz perpendicular, y el punto donde corta al segmento original es su punto medio.

Los arcos trazados desde \(A\) y desde \(B\) con la misma abertura del compas se cruzan en dos puntos que definen la bisectriz perpendicular.

La bisectriz perpendicular en el plano cartesiano

Cuando trabajas con coordenadas, no necesitas compas: basta con dos calculos.

Primero, el punto medio del segmento de \(A(x_1, y_1)\) a \(B(x_2, y_2)\) es \( M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right) \). Segundo, la pendiente de la mediatriz es la pendiente perpendicular a la del segmento: si el segmento tiene pendiente \(m\), la mediatriz tiene pendiente \( m_{\perp} = -\dfrac{1}{m} \). Este mismo principio de pendientes opuestas y reciprocas se repite en el estudio de pruebas con lineas paralelas, donde en cambio las pendientes iguales indican rectas paralelas.

Ejemplo resuelto

Encuentra la bisectriz perpendicular del segmento con extremos \(A(0, 0)\) y \(B(6, 4)\).

Paso 1. Punto medio: \( M = \left(\dfrac{0+6}{2}, \dfrac{0+4}{2}\right) = (3, 2) \).

Paso 2. Pendiente de \(AB\): \( m = \dfrac{4-0}{6-0} = \dfrac{2}{3} \). La pendiente perpendicular es \( m_{\perp} = -\dfrac{3}{2} \).

Paso 3. Ecuacion punto-pendiente con \(M(3, 2)\): \( y - 2 = -\dfrac{3}{2}(x - 3) \), que se simplifica a \( y = -1.5x + 6.5 \).

Bisectriz perpendicular del segmento \(AB\), que pasa por el punto medio \(M(3, 2)\) con pendiente \(-1.5\).

Cualquier punto de esta recta esta a la misma distancia de \(A(0,0)\) que de \(B(6,4)\), como lo garantiza el teorema de la bisectriz perpendicular. Esta misma logica de angulos rectos y pendientes reciprocas tambien aparece al identificar angulos bisectores, aunque ahi el objeto que se divide es un angulo y no un segmento.

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