Esta leccion explica que es una sucesion numerica, como reconocer el patron numerico que la genera y como escribir formulas explicitas y recursivas para encontrar cualquier termino. Incluye ejemplos con sucesiones aritmeticas y geometricas resueltos paso a paso para practicar la identificacion de patrones.
¿Qué es una sucesión numérica?
Una sucesión numérica es una lista ordenada de números que sigue una regla o un patrón fijo. Cada número de la lista se llama término, y la posición de cada término importa: el primer término se escribe \( a_1 \), el segundo \( a_2 \), y en general el término que ocupa el lugar \( n \) se escribe \( a_n \).
Por ejemplo, en la sucesión \( 2, 5, 8, 11, 14, \ldots \) cada número se obtiene sumando 3 al anterior. Ese "sumar 3" es el patrón numérico que define toda la sucesión.
El patron numerico "sumar 3" conecta cada termino con el siguiente.
Patrones numéricos: cómo identificarlos
Para descubrir el patrón numérico de una sucesión, resta cada término del que le sigue. Si la diferencia es siempre la misma, el patrón es una suma constante. Si en lugar de restar divides un término entre el anterior y el resultado siempre es el mismo, el patrón es una multiplicación constante.
Reconocer el patrón correcto también es la clave cuando falta un término dentro de la lista y necesitas reconstruirlo; ese tipo de problema se trabaja a fondo en Encontrando el dígito faltante.
Sucesiones aritméticas
Una sucesión es aritmética cuando el patrón consiste en sumar siempre el mismo número, llamado diferencia común \( d \). Su fórmula explicita es:
\( a_n = a_1 + (n-1)d \)
Donde \( a_1 \) es el primer término y \( n \) es la posición del término que quieres calcular. En la sucesión \( 3, 5, 7, 9, \ldots \) el primer término es \( a_1 = 3 \) y la diferencia común es \( d = 2 \), así que el término en la posición \( n \) es \( a_n = 3 + (n-1)\cdot 2 = 2n+1 \).
Cada punto representa el termino a_n = 2n + 1 en la posicion n de la sucesion.
Sucesiones geométricas
Una sucesión es geométrica cuando el patrón consiste en multiplicar siempre por el mismo número, llamado razón común \( r \). Su fórmula explicita es:
\( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \)
Por ejemplo, en la sucesión \( 2, 6, 18, 54, \ldots \) el primer término es \( a_1 = 2 \) y la razón común es \( r = 3 \), porque cada término se multiplica por 3 para obtener el siguiente. Entonces \( a_n = 2 \cdot 3^{n-1} \).
Fórmula explicita frente a fórmula recursiva
Una fórmula explicita calcula cualquier término directamente a partir de su posición \( n \), sin necesidad de conocer los términos anteriores; es lo que usan \( a_n = a_1 + (n-1)d \) y \( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \).
Una fórmula recursiva, en cambio, define cada término a partir del término anterior. Por ejemplo, la sucesión aritmética anterior también se puede escribir como \( a_1 = 3 \) y \( a_n = a_{n-1} + 2 \) para \( n > 1 \). Ambas descripciones generan exactamente la misma lista de números.
Ejemplo resuelto
Encuentra el término 12 de la sucesión \( 4, 9, 14, 19, \ldots \)
Primero identifica el patrón: cada término aumenta 5 respecto al anterior, así que es una sucesión aritmética con \( a_1 = 4 \) y \( d = 5 \). Sustituye en la fórmula explicita:
\( a_{12} = 4 + (12-1)\cdot 5 = 4 + 55 = 59 \)
El término que ocupa la posición 12 en esta sucesión es 59, sin necesidad de escribir los 11 términos anteriores.