Triángulos Isósceles y Equiláteros

Un triángulo isósceles es un triángulo que tiene exactamente dos lados de la misma longitud. A estos dos lados iguales se les llama lados laterales, y al tercer lado se le llama base. El ángulo formado entre los dos lados laterales se conoce como ángulo del vértice, mientras que los dos ángulos que se apoyan sobre la base se llaman ángulos base.

Si repasaste antes cómo se agrupan los triángulos según sus lados y ángulos en Clasificando triángulos, recordarás que el triángulo isósceles es una de las categorías principales junto con el escaleno y el equilátero.

El teorema del ángulo base establece que, si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a esos lados también son congruentes. En la Figura 1, como \( AB = AC \), se cumple que \( \angle B = \angle C \).

El recíproco también es verdadero: si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a esos ángulos son congruentes. Esto significa que puedes identificar un triángulo isósceles ya sea comparando lados o comparando ángulos, lo que resulta muy útil al resolver problemas donde solo conoces algunos ángulos.

Ejemplo 1

En un triángulo isósceles, el ángulo del vértice mide \(40^\circ\). Encuentra la medida de cada ángulo base.

Como los ángulos de un triángulo suman \(180^\circ\) y los dos ángulos base son congruentes, se puede escribir:

\( 40 + 2x = 180 \)

\( 2x = 140 \)

\( x = 70 \)

Cada ángulo base mide \(70^\circ\).

Un triángulo equilátero tiene sus tres lados congruentes. Como consecuencia directa del teorema del ángulo base, un triángulo equilátero también es equiángulo: sus tres ángulos internos miden \(60^\circ\) cada uno, ya que \( \dfrac{180}{3} = 60 \). Por eso todo triángulo equilátero es también un caso especial de triángulo isósceles, pues cumple la condición de tener al menos dos lados iguales.

La altura de un triángulo isósceles trazada desde el vértice hasta el punto medio de la base también funciona como bisectriz del ángulo del vértice y como mediatriz de la base, dividiendo al triángulo original en dos triángulos rectángulos congruentes. Esto permite usar el teorema de Pitágoras para encontrar la altura cuando conoces la longitud de los lados laterales y de la base.

Si \( a \) es la longitud de cada lado lateral y \( b \) es la longitud de la base, la altura \( h \) se calcula así:

\( h = \sqrt{a^2 - \left(\dfrac{b}{2}\right)^2} \)

Una vez que tienes la altura, puedes calcular el área con la fórmula general de un triángulo, \( A = \dfrac{1}{2} \times base \times h \), tal como se explica con más detalle en Área de un triángulo.

Ejemplo 2

Un triángulo isósceles tiene lados laterales de \(13\) unidades y una base de \(10\) unidades. Encuentra su área.

Primero se calcula la altura:

\( h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \)

Luego se calcula el área:

\( A = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60 \)

El área del triángulo es \(60\) unidades cuadradas.

• Un triángulo isósceles tiene al menos dos lados congruentes y sus ángulos base opuestos también son congruentes.
• Un triángulo equilátero tiene los tres lados y los tres ángulos congruentes, cada uno de \(60^\circ\).
• Todo triángulo equilátero es un caso particular de triángulo isósceles.
• La altura desde el vértice de un triángulo isósceles biseca la base y el ángulo del vértice.

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