Ampliaciones y Reducciones con Factores de Escala

Un factor de escala, representado con la letra \(k\), es el numero que indica cuantas veces mas grande o mas pequena es una figura (llamada imagen) en comparacion con la figura original. Se calcula comparando una longitud de la imagen con la longitud correspondiente en la figura original:

\( k = \dfrac{L'}{L} \)

donde \(L'\) es una longitud en la figura resultante y \(L\) es la longitud correspondiente en la figura original. Este mismo numero se usa para escalar todas las medidas de la figura, lo cual esta muy relacionado con los diagramas de escalas, donde el factor de escala conecta un dibujo con el tamano real de un objeto.

El valor de \(k\) determina si la transformacion es una ampliacion o una reduccion:

• Si \( k > 1 \), la figura resultante es mas grande que la original: es una ampliacion.
• Si \( 0 < k < 1 \), la figura resultante es mas pequena que la original: es una reduccion.
• Si \( k = 1 \), la figura no cambia de tamano.
• Si \( k \) es negativo, la figura se agranda o reduce y, adicionalmente, gira 180 grados respecto al centro de ampliacion.

Para dibujar la imagen de una figura bajo un factor de escala, se elige un punto fijo llamado centro de ampliacion, \(O\). Cada vertice de la figura original se conecta con \(O\) mediante una linea, y el vertice correspondiente en la imagen se ubica sobre esa misma linea, a una distancia de \(O\) igual a \(k\) veces la distancia original.

Observa que cada lado de la imagen mide exactamente el doble del lado correspondiente en la figura original, y que las lineas discontinuas desde \(O\) pasan por cada par de vertices correspondientes.

Un segmento mide 5 centimetros. Se aplica un factor de escala de \(k = 0.4\) desde un centro de ampliacion. Como \(0 < k < 1\), la transformacion es una reduccion. La nueva longitud es:

\( L' = k \times L = 0.4 \times 5 = 2 \) centimetros.

Ahora, en el sentido inverso: si una figura original mide 3 centimetros y su imagen mide 12 centimetros, el factor de escala es:

\( k = \dfrac{L'}{L} = \dfrac{12}{3} = 4 \)

Como \(k > 1\), se trata de una ampliacion. Este tipo de calculo, comparando lados correspondientes de dos figuras, es la misma idea que se usa al estudiar poligonos semejantes, donde los lados correspondientes son siempre proporcionales al mismo factor de escala.

Cuando todas las longitudes de una figura se multiplican por \(k\), el area no cambia por el mismo factor: cambia por \(k^2\). Esto se expresa como:

\( A' = k^2 \times A \)

Por ejemplo, si un triangulo con area de 6 centimetros cuadrados se amplia con \(k = 3\), el area de la imagen es \( A' = 3^2 \times 6 = 54 \) centimetros cuadrados. Esta relacion entre lados proporcionales y areas es clave tambien al trabajar con triangulos semejantes, donde el factor de escala entre lados correspondientes permite comparar perimetros y areas de manera directa.

• El factor de escala compara siempre longitudes correspondientes: \( k = \dfrac{L'}{L} \).
• \(k > 1\) amplia la figura; \(0 < k < 1\) la reduce; \(k < 0\) ademas la gira 180 grados.
• Las longitudes se multiplican por \(k\), pero el area se multiplica por \(k^2\).
• Toda ampliacion o reduccion se realiza a partir de un centro de ampliacion fijo.

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