Sustitución Trigonométrica

La sustitución trigonométrica es una técnica de integración que se usa cuando el integrando contiene una raíz cuadrada de una suma o diferencia de cuadrados, como \( \sqrt{a^2 - x^2} \), \( \sqrt{a^2 + x^2} \) o \( \sqrt{x^2 - a^2} \). Estas expresiones son difíciles de integrar directamente, pero al reemplazar \( x \) por una función trigonométrica de un ángulo \( \theta \), la raíz cuadrada se simplifica gracias a las identidades pitagóricas, y la integral se convierte en una integral trigonométrica que ya sabes resolver.

Antes de estudiar este método conviene tener claro cómo funciona la integración por sustitución, ya que la sustitución trigonométrica sigue la misma lógica: cambiar de variable para simplificar el integrando y luego regresar a la variable original al final.

Todo depende de qué expresión aparece dentro de la raíz cuadrada. La siguiente tabla resume qué sustitución usar en cada caso y qué identidad pitagórica simplifica la raíz.

Expresión en el integrando	Sustitución	Identidad usada
\( \sqrt{a^2 - x^2} \)	\( x = a\sin\theta \)	\( 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta \)
\( \sqrt{a^2 + x^2} \)	\( x = a\tan\theta \)	\( 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \)
\( \sqrt{x^2 - a^2} \)	\( x = a\sec\theta \)	\( \sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta \)

En los tres casos, después de sustituir necesitas también reemplazar \( dx \) por su diferencial correspondiente. Por ejemplo, si \( x = a\sin\theta \), entonces \( dx = a\cos\theta \, d\theta \).

Una vez resuelta la integral en términos de \( \theta \), es necesario regresar a la variable \( x \). Para eso se dibuja un triángulo rectángulo que representa la sustitución elegida. En el caso \( x = a\sin\theta \), el triángulo se ve así:

De este triángulo se lee directamente que \( \sin\theta = \dfrac{x}{a} \), \( \cos\theta = \dfrac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a} \) y \( \theta = \arcsin\left(\dfrac{x}{a}\right) \). Triángulos análogos se construyen para los casos con \( \tan\theta \) y \( \sec\theta \), cambiando qué lado representa la hipotenusa.

Calcula \( \displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} \).

Aquí \( a^2 = 9 \), así que \( a = 3 \) y se usa \( x = 3\sin\theta \), con \( dx = 3\cos\theta \, d\theta \). La raíz se simplifica así:

\( \sqrt{9 - x^2} = \sqrt{9 - 9\sin^2\theta} = \sqrt{9\cos^2\theta} = 3\cos\theta \)

Sustituyendo en la integral:

\( \displaystyle\int \dfrac{3\cos\theta \, d\theta}{3\cos\theta} = \int d\theta = \theta + C \)

Usando el triángulo de referencia, \( \theta = \arcsin\left(\dfrac{x}{3}\right) \), por lo que el resultado final es \( \arcsin\left(\dfrac{x}{3}\right) + C \).

La función que se integra corresponde a la parte superior de un semicírculo de radio 3, como muestra la gráfica siguiente.

Calcula \( \displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2 + 4}} \).

Aquí \( a = 2 \), así que se usa \( x = 2\tan\theta \), con \( dx = 2\sec^2\theta \, d\theta \). La raíz se simplifica usando \( 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \):

\( \sqrt{x^2 + 4} = \sqrt{4\tan^2\theta + 4} = 2\sec\theta \)

La integral se convierte en \( \displaystyle\int \sec\theta \, d\theta = \ln\left|\sec\theta + \tan\theta\right| + C \). Este tipo de integral trigonométrica se resuelve con las técnicas explicadas en integración usando identidades trigonométricas. Al regresar a \( x \) mediante el triángulo correspondiente se obtiene el resultado final en términos de \( x \).

Un error frecuente es olvidar sustituir \( dx \) junto con el resto del integrando, dejando una mezcla de \( x \) y \( \theta \) en la misma expresión. Otro es elegir la sustitución equivocada porque no se identificó correctamente el signo dentro de la raíz: recuerda que el signo menos entre dos cuadrados corresponde a \( \sin\theta \), el signo más a \( \tan\theta \), y la resta con \( x^2 \) primero corresponde a \( \sec\theta \).

Después de integrar, siempre hay que devolver el resultado a la variable original usando el triángulo de referencia, no dejar la respuesta en términos de \( \theta \). Si al simplificar la integral en \( \theta \) obtienes una expresión racional, quizás te sea útil revisar integración de funciones racionales por fracciones parciales como paso complementario.

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