Series de Taylor y Maclaurin

Una serie de Taylor es una manera de escribir una función suave (con todas sus derivadas definidas) como una suma infinita de términos construidos a partir de sus derivadas evaluadas en un solo punto. La idea central es que, si conocemos el valor de una función y de todas sus derivadas en un punto \( a \), podemos reconstruir el comportamiento completo de la función cerca de ese punto usando un polinomio. Este concepto se apoya directamente en lo que aprendiste sobre series infinitas, ya que una serie de Taylor no es más que un tipo particular de serie infinita.

La serie de Taylor de una función \( f(x) \) centrada en un punto \( a \) se define como:

\( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \)

Aquí \( f^{(n)}(a) \) representa la derivada de orden \( n \) de \( f \) evaluada en \( a \), y \( n! \) es el factorial de \( n \). Cada término de la suma agrega un poco más de precisión a la aproximación de \( f(x) \) cerca de \( a \). Si detenemos la suma en un número finito de términos, obtenemos un polinomio de Taylor de grado \( n \), que es una aproximación práctica de la función original.

Cuando el punto de expansión es \( a = 0 \), la serie de Taylor recibe un nombre especial: serie de Maclaurin. La fórmula se simplifica a:

\( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \)

Toda serie de Maclaurin es una serie de Taylor, pero no toda serie de Taylor es una serie de Maclaurin, ya que esta última siempre está centrada en el origen. Esta distinción es la razón por la que ambos nombres aparecen juntos con tanta frecuencia: comparten la misma estructura, solo cambia el punto de expansión.

Para construir los primeros términos de una serie de Taylor o Maclaurin sigue estos pasos:

1. Calcula \( f(a) \), es decir, el valor de la función en el punto de expansión.

2. Calcula las derivadas sucesivas \( f'(a) \), \( f''(a) \), \( f'''(a) \), y así sucesivamente, hasta el orden que necesites.

3. Sustituye cada derivada en la fórmula \( \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \) para obtener cada término.

4. Suma los términos obtenidos para formar el polinomio de Taylor de grado \( n \).

La función exponencial es el ejemplo más natural para practicar, porque todas sus derivadas son iguales a la función misma: \( f^{(n)}(x) = e^x \), así que \( f^{(n)}(0) = 1 \) para cualquier \( n \). Esta es la gráfica de la función original:

Sustituyendo en la fórmula de Maclaurin obtenemos:

\( e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dots \)

Si tomamos solo los primeros cuatro términos obtenemos el polinomio de grado 3, \( P_3(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} \), cuya gráfica ya se parece bastante a la de \( e^x \) cerca de \( x = 0 \):

Observa que ambas gráficas coinciden casi exactamente cerca del origen, pero se separan a medida que \( x \) se aleja de 0. Esto ilustra la idea clave de una serie de Taylor: entre más términos incluyas, más amplio será el intervalo donde la aproximación es confiable.

Como \( \ln(x) \) no está definida en \( x = 0 \), no podemos usar una serie de Maclaurin directamente. En su lugar, expandimos alrededor de \( a = 1 \), donde \( f(1) = 0 \). Calculando las derivadas: \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \), \( f''(x) = -\dfrac{1}{x^2} \), \( f'''(x) = \dfrac{2}{x^3} \), evaluadas en \( a = 1 \) dan \( f'(1) = 1 \), \( f''(1) = -1 \), \( f'''(1) = 2 \). El polinomio de Taylor resultante es:

\( \ln(x) \approx (x-1) - \dfrac{(x-1)^2}{2} + \dfrac{(x-1)^3}{3} \)

Este ejemplo muestra por qué elegir el punto de expansión correcto es tan importante: la serie solo tiene sentido donde la función y sus derivadas existen.

No toda serie de Taylor converge a la función original para todos los valores de \( x \); en general existe un intervalo alrededor del punto \( a \) donde la aproximación es válida, llamado intervalo de convergencia. Para estudiar dónde una serie de Taylor converge se usan las mismas herramientas que revisaste en convergencia y divergencia de series infinitas, junto con las bases de sucesiones que sostienen toda la teoría de series.

Estas series permiten reemplazar funciones difíciles de evaluar o de integrar (como \( e^x \), \( \sin(x) \), \( \cos(x) \) o \( \ln(x) \)) por polinomios, que son mucho más sencillos de manejar en cálculos numéricos, límites y aproximaciones. Por eso aparecen constantemente en física, ingeniería y análisis numérico como una herramienta central de calculo.

Related lessons

• Es Calculus Help