Ecuaciones Diferenciales Separables

Una ecuación separable es un tipo especial de ecuación diferencial de primer orden que se puede escribir de la forma \( \dfrac{dy}{dx} = f(x)g(y) \), es decir, el lado derecho se puede factorizar como el producto de una función que solo depende de \(x\) y otra que solo depende de \(y\). Esta estructura permite reorganizar la ecuación de modo que cada variable quede acompañada únicamente de su propio diferencial, y luego integrar cada lado por separado.

Si aún no has trabajado con el concepto general de ecuación diferencial, conviene repasar primero la introducción a ecuaciones diferenciales antes de continuar con este método.

El procedimiento para resolver una ecuación separable sigue siempre los mismos pasos:

1. Escribe la ecuación en la forma \( \dfrac{dy}{dx} = f(x)g(y) \).
2. Separa las variables pasando todos los términos con \(y\) a un lado y todos los términos con \(x\) al otro: \( \dfrac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx \).
3. Integra ambos lados de manera independiente: \( \int \dfrac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx \).
4. Agrega la constante de integración \(C\) y, si es posible, despeja \(y\) para obtener la solución explícita.
5. Si tienes una condición inicial, sustitúyela para encontrar el valor exacto de \(C\) y obtener la solución particular.

Resuelve \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y} \) con la condición \(y(0) = 1\).

Primero separamos las variables multiplicando ambos lados por \(y\,dx\):

\( y\,dy = x\,dx \)

Integramos cada lado:

\( \dfrac{y^2}{2} = \dfrac{x^2}{2} + C \)

Multiplicando por 2, la solución general es \( y^2 = x^2 + 2C \). Usando la condición inicial \(y(0) = 1\): \( 1 = 0 + 2C \), entonces \( 2C = 1 \). La solución particular queda \( y^2 = x^2 + 1 \), y como \(y(0) = 1 > 0\), tomamos la raíz positiva:

\( y = \sqrt{x^2 + 1} \)

Muchos modelos de crecimiento (poblaciones, interés compuesto, desintegración radiactiva) llevan a una ecuación de la forma \( \dfrac{dy}{dx} = ky \), donde \(k\) es una constante. Separando variables:

\( \dfrac{dy}{y} = k\,dx \)

Integrando ambos lados obtenemos \( \ln|y| = kx + C_1 \), y aplicando la exponencial:

\( y = Ce^{kx} \)

Si además sabemos que \(y(0) = 1\) y \(k = 2\), la solución particular es \( y = e^{2x} \).

No toda ecuación diferencial se puede factorizar como \( f(x)g(y) \). Por ejemplo, \( \dfrac{dy}{dx} = x + y \) no es separable, porque los términos \(x\) y \(y\) están sumados en lugar de multiplicados y no hay manera de agrupar todos los términos en \(y\) de un lado sin que quede algún \(x\) mezclado. Reconocer rápidamente esta diferencia te ahorra tiempo antes de intentar separar variables en una ecuación que en realidad requiere otra técnica.

• Olvidar la constante de integración \(C\) al integrar ambos lados.
• Dividir por \(g(y)\) sin comprobar si \(g(y) = 0\) da lugar a soluciones adicionales (soluciones constantes) que se pierden al dividir.
• No aplicar correctamente la condición inicial para determinar el valor específico de \(C\).
• Confundir una ecuación separable con una lineal o exacta cuando el lado derecho no se puede factorizar como producto de funciones de \(x\) y de \(y\).

El método de separación de variables es, en general, la primera técnica que se aprende para resolver ecuaciones diferenciales porque convierte un problema de cálculo diferencial en uno de integración directa. Una vez dominado este método, resulta mucho más sencillo abordar las aplicaciones de ecuaciones diferenciales en contextos como crecimiento poblacional, enfriamiento de cuerpos o circuitos eléctricos.

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