Criterio de la Razón

El criterio de la razón (también llamado criterio del cociente) es un método para determinar si una serie infinita \( \sum a_n \) converge o diverge. La idea central es observar cómo se comporta el cociente entre un término y el anterior a medida que \( n \) crece. Este criterio es especialmente útil cuando los términos de la serie contienen factoriales, potencias de \( n \) o exponenciales, casos donde otras herramientas, como las estudiadas en introducción a series infinitas, resultan más difíciles de aplicar directamente.

Formalmente, dada una serie \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \), se calcula el límite:

\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| \)

El valor de \( L \) determina la conclusión sobre la serie:

• Si \( L < 1 \), la serie converge absolutamente.
• Si \( L > 1 \) (incluyendo \( L = \infty \)), la serie diverge.
• Si \( L = 1 \), el criterio no es concluyente y se debe usar otro método, como el de comparación o el de la integral.

1. Identifica el término general \( a_n \) de la serie.
2. Escribe el término siguiente \( a_{n+1} \) sustituyendo \( n \) por \( n+1 \).
3. Forma el cociente \( \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| \) y simplifícalo.
4. Calcula el límite cuando \( n \to \infty \).
5. Interpreta el resultado según los tres casos anteriores.

Analiza la serie \( \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{2^n} \) usando el criterio de la razón.

El término general es \( a_n = \dfrac{n}{2^n} \), así que \( a_{n+1} = \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \). El cociente es:

\( \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \dfrac{2^n}{n} = \dfrac{n+1}{2n} \)

Tomando el límite cuando \( n \to \infty \):

\( L = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{2n} = \dfrac{1}{2} \)

Como \( L = \dfrac{1}{2} < 1 \), la serie converge. La gráfica siguiente muestra cómo los términos \( a_n = \dfrac{n}{2^n} \) se vuelven cada vez más pequeños, lo cual es consistente con la convergencia de la serie.

Cuando el criterio de la razón resulta en \( L = 1 \), no aporta información y conviene recurrir a otras herramientas. Por ejemplo, para series geométricas conviene revisar convergencia y divergencia de series geométricas, mientras que para un análisis más general de la convergencia de series es útil repasar convergencia y divergencia de series infinitas.

Un error frecuente es olvidar el valor absoluto al formar el cociente, lo que puede llevar a signos incorrectos en series alternantes. Otro error común es detenerse al obtener una expresión sin simplificar y no calcular realmente el límite cuando \( n \to \infty \), lo cual impide llegar a una conclusión válida sobre \( L \).

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