El criterio de la razón es una herramienta del cálculo que permite determinar si una serie infinita converge o diverge analizando el límite del cociente entre términos consecutivos. Esta página explica la fórmula, los tres casos posibles y muestra un ejemplo resuelto paso a paso.
¿Qué es el criterio de la razón?
El criterio de la razón (también llamado criterio del cociente) es un método para determinar si una serie infinita \( \sum a_n \) converge o diverge. La idea central es observar cómo se comporta el cociente entre un término y el anterior a medida que \( n \) crece. Este criterio es especialmente útil cuando los términos de la serie contienen factoriales, potencias de \( n \) o exponenciales, casos donde otras herramientas, como las estudiadas en introducción a series infinitas, resultan más difíciles de aplicar directamente.
Formalmente, dada una serie \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \), se calcula el límite:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| \)
Los tres casos del criterio de la razón
El valor de \( L \) determina la conclusión sobre la serie:
Si \( L < 1 \), la serie converge absolutamente.
Si \( L > 1 \) (incluyendo \( L = \infty \)), la serie diverge.
Si \( L = 1 \), el criterio no es concluyente y se debe usar otro método, como el de comparación o el de la integral.
Los tres posibles resultados al aplicar el criterio de la razón.
Cómo aplicar el criterio de la razón paso a paso
Identifica el término general \( a_n \) de la serie.
Escribe el término siguiente \( a_{n+1} \) sustituyendo \( n \) por \( n+1 \).
Forma el cociente \( \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| \) y simplifícalo.
Calcula el límite cuando \( n \to \infty \).
Interpreta el resultado según los tres casos anteriores.
Ejemplo resuelto
Analiza la serie \( \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{2^n} \) usando el criterio de la razón.
El término general es \( a_n = \dfrac{n}{2^n} \), así que \( a_{n+1} = \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \). El cociente es:
\( L = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{2n} = \dfrac{1}{2} \)
Como \( L = \dfrac{1}{2} < 1 \), la serie converge. La gráfica siguiente muestra cómo los términos \( a_n = \dfrac{n}{2^n} \) se vuelven cada vez más pequeños, lo cual es consistente con la convergencia de la serie.
Comportamiento decreciente de los términos \( a_n = \dfrac{n}{2^n} \).
Un error frecuente es olvidar el valor absoluto al formar el cociente, lo que puede llevar a signos incorrectos en series alternantes. Otro error común es detenerse al obtener una expresión sin simplificar y no calcular realmente el límite cuando \( n \to \infty \), lo cual impide llegar a una conclusión válida sobre \( L \).