Integración por Partes 2: Método Tabular e Integrales Cíclicas

Si al elegir \(u\) el resultado sigue siendo un producto de funciones, hay que repetir el procedimiento. Un ejemplo clásico es \( \int x^2 e^x\,dx \). Al derivar \(x^2\) se obtiene \(2x\), que todavía no es una constante, así que se necesita una segunda aplicación de la fórmula para llegar a un resultado sin integral pendiente.

Antes de repetir la fórmula conviene revisar si una integración por sustitución simplificaría primero el integrando; a veces conviene combinar ambas técnicas en el mismo problema, como se explica en integración por sustitución.

Cuando \(u\) hay que derivarla varias veces (como un polinomio) y \(dv\) se integra fácilmente varias veces (como una exponencial o una función trigonométrica), conviene usar una tabla que organiza cada paso y evita repetir la fórmula a mano.

La tabla tiene tres columnas: el signo (alternando entre positivo y negativo), las derivadas sucesivas de \(u\) y las integrales sucesivas de \(dv\). El resultado final es la suma de los productos en diagonal, multiplicados por su signo.

Leyendo la tabla en diagonal (cada fila de \(u\) con la fila siguiente de dv) se obtiene directamente \( \int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - 2xe^x + 2e^x + C \), sin escribir la fórmula tres veces por separado.

Hay integrales donde, al aplicar la integración por partes dos veces, la integral original reaparece del lado derecho. En ese caso no hace falta seguir integrando: se despeja algebraicamente. El ejemplo más conocido es \( I = \int e^x \sin x\,dx \).

Tomando \(u = \sin x\) y \(dv = e^x\,dx\), se obtiene \( I = e^x \sin x - \int e^x \cos x\,dx \). Aplicando la fórmula otra vez a esa nueva integral, con \(u = \cos x\) y \(dv = e^x\,dx\), resulta \( \int e^x \cos x\,dx = e^x \cos x + I \).

Sustituyendo, \( I = e^x \sin x - e^x \cos x - I \), de donde \( 2I = e^x \sin x - e^x \cos x \) y finalmente:

\( \int e^x \sin x\,dx = \dfrac{e^x \sin x - e^x \cos x}{2} + C \)

Este mismo truco funciona con cualquier combinación de exponencial con seno o coseno, siempre que se derive e integre consistentemente la misma pareja de funciones en ambos pasos.

Al integrar potencias de funciones trigonométricas, como \( \int \sin^n x\,dx \), la integración por partes repetida genera una fórmula de reducción que relaciona la potencia \(n\) con la potencia \(n-2\):

\( \int \sin^n x\,dx = -\dfrac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \dfrac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x\,dx \)

Aplicando esta fórmula varias veces se reduce el exponente hasta llegar a un caso conocido. Estas fórmulas se combinan a menudo con identidades trigonométricas; para repasar esas equivalencias conviene revisar integración usando identidades trigonométricas.

Calcula el área bajo \( f(x) = x^2 e^{-x} \) entre \(x = 0\) y \(x = 2\), es decir, \( \int_0^2 x^2 e^{-x}\,dx \).

Con el método tabular, tomando \(u = x^2\) (que se deriva) y \(dv = e^{-x}\,dx\) (que se integra), se llega a la antiderivada \( -x^2 e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x} + C \). Evaluando entre 0 y 2 se obtiene el valor del área señalada en la gráfica siguiente.

Este tipo de integrales con límites definidos aparece también al estudiar límites infinitos; si ese es el siguiente paso, conviene revisar integrales impropias, donde la misma antiderivada se evalúa en el infinito.

Antes de integrar por partes más de una vez conviene preguntarse: ¿el integrando se simplifica al derivar \(u\) repetidamente? Si sí, usa el método tabular. ¿La integral original reaparece tras dos aplicaciones? Si sí, despeja algebraicamente como en el caso cíclico. ¿Se trata de una potencia trigonométrica? Aplica la fórmula de reducción correspondiente. Identificar el patrón correcto ahorra pasos y evita errores de signo.

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