Integrales Impropias

Una integral impropia es una integral definida que, en apariencia, no cumple las condiciones normales para calcularse directamente. Esto ocurre en dos situaciones: cuando alguno de los limites de integracion es infinito, o cuando la funcion presenta una discontinuidad (por ejemplo, una asintota vertical) dentro del intervalo de integracion. En ambos casos, la solucion consiste en reemplazar el valor problematico por una variable y calcular el limite de la integral cuando esa variable se aproxima al valor original.

Cuando uno o ambos limites de integracion son infinitos, se sustituye el infinito por una letra, se resuelve la integral definida normalmente y despues se calcula el limite. Por ejemplo:

\( \displaystyle \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^b = \lim_{b\to\infty} \left( 1 - \frac{1}{b} \right) = 1 \)

El limite existe y es finito, por lo que decimos que la integral converge y su valor es 1. La grafica muestra como el area bajo la curva, aunque se extiende indefinidamente hacia la derecha, se va acercando a un valor limitado.

El segundo tipo aparece cuando la funcion tiene una discontinuidad infinita en un punto del intervalo, ya sea en un extremo o en un punto intermedio. Se procede de forma similar: se sustituye el punto de discontinuidad por una variable que se acerca a ese valor mediante un limite. Por ejemplo, en:

\( \displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{t\to 0^+} \int_t^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{t\to 0^+} \left[ 2\sqrt{x} \right]_t^1 = \lim_{t\to 0^+} \left( 2 - 2\sqrt{t} \right) = 2 \)

Aqui la funcion no esta definida en \( x = 0 \), pero el limite existe y es finito, asi que la integral converge a 2. Si el punto de discontinuidad esta en medio del intervalo, es necesario dividir la integral en dos partes en ese punto y analizar cada una por separado.

Una integral impropia converge cuando el limite que la define existe y es un numero finito. Si el limite no existe o tiende a infinito, decimos que la integral diverge. Un ejemplo clasico de divergencia es:

\( \displaystyle \int_1^{\infty} \frac{1}{x}\,dx = \lim_{b\to\infty} \left[ \ln|x| \right]_1^b = \lim_{b\to\infty} \ln b = \infty \)

Aunque \( \frac{1}{x} \) y \( \frac{1}{x^2} \) se parecen mucho, sus areas infinitas se comportan de forma opuesta: una diverge y la otra converge. Esta comparacion da origen al criterio de la potencia: \( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \) converge si \( p>1 \) y diverge si \( p \le 1 \).

Considera \( \displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx \). La funcion tiene una discontinuidad en \( x=0 \), que esta dentro del intervalo, por lo que se debe separar en dos integrales impropias:

\( \displaystyle \int_{-1}^{0} \frac{1}{x^2}\,dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx \)

Al evaluar cada limite por separado, ambas partes divergen hacia infinito, de modo que la integral completa tambien diverge, aunque el intervalo original sea finito. Este ejemplo muestra por que siempre hay que revisar si existe alguna discontinuidad interna antes de aplicar el teorema fundamental del calculo directamente.

Antes de tomar el limite, normalmente hay que encontrar la antiderivada de la funcion, y esto puede requerir las mismas tecnicas usadas en integrales ordinarias. Si la funcion tiene una raiz o una expresion compuesta, la integracion por sustitucion suele simplificarla. Cuando el integrando es una funcion racional, conviene descomponerla usando fracciones parciales antes de aplicar el limite. Si la antiderivada es dificil de encontrar de forma exacta, la integracion numerica permite aproximar el valor de integrales que si convergen.

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