Funciones expresadas como series de potencias

Una serie de potencias centrada en \( a \) tiene la forma \( \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n \). Cuando una función \( f(x) \) coincide con la suma de una de estas series dentro de cierto intervalo, decimos que la función está "expresada como serie de potencias" en ese intervalo. Esto es útil porque convierte una función en una suma infinita de términos polinómicos, algo mucho más fácil de derivar, integrar o aproximar numéricamente.

Antes de avanzar conviene tener claro qué es una serie infinita y cómo se analiza su convergencia, porque toda representación de una función como serie de potencias solo es válida dentro de un intervalo específico de valores de \( x \).

La herramienta más importante de este tema es la serie geométrica. Si \( |x| < 1 \), se cumple que:

\( \dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \)

Esta igualdad es exactamente lo que buscamos: la función racional \( \dfrac{1}{1-x} \) queda escrita como una serie de potencias, con radio de convergencia \( R = 1 \) e intervalo de convergencia \( (-1, 1) \). Si necesitas repasar por qué esta suma converge solo cuando \( |x| < 1 \), revisa la convergencia y divergencia de series geométricas.

Muchas funciones que no son exactamente \( \dfrac{1}{1-x} \) pueden convertirse en esa forma mediante un cambio de variable, y así reutilizar la serie geométrica sin repetir el trabajo desde cero. La idea es identificar qué expresión ocupa el lugar de \( x \) en la fórmula original.

Ejemplo 1: \( f(x) = \dfrac{1}{1+x} \)

Escribimos \( 1 + x = 1 - (-x) \), así que sustituimos \( x \) por \( -x \) en la serie geométrica:

\( \dfrac{1}{1+x} = \dfrac{1}{1-(-x)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \)

El intervalo de convergencia no cambia de tamaño porque solo invertimos el signo de \( x \), por lo que sigue siendo \( |x| < 1 \), es decir \( (-1, 1) \).

Ejemplo 2: \( f(x) = \dfrac{1}{1+x^2} \)

Aquí sustituimos \( x \) por \( -x^2 \):

\( \dfrac{1}{1+x^2} = \dfrac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} \)

Para que la serie converja necesitamos \( |-x^2| < 1 \), lo cual equivale a \( x^2 < 1 \), es decir otra vez \( |x| < 1 \). El intervalo de convergencia sigue siendo \( (-1, 1) \), aunque la sustitución fue cuadrática.

Ejemplo 3: una función desplazada

Para \( f(x) = \dfrac{1}{3-x} \) primero factorizamos para dejar un 1 en el denominador:

\( \dfrac{1}{3-x} = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{1-\frac{x}{3}} = \dfrac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{x}{3}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{3^{n+1}} \)

La condición de convergencia ahora es \( \left|\dfrac{x}{3}\right| < 1 \), lo que da \( |x| < 3 \), así que el radio de convergencia es \( R = 3 \) y el intervalo es \( (-3, 3) \).

Cada vez que se sustituye una expresión distinta en lugar de \( x \), hay que volver a resolver la desigualdad de convergencia con esa nueva expresión, en lugar de asumir que el intervalo siempre queda igual a \( (-1, 1) \). El procedimiento general es:

1. Reescribir la función en la forma \( \dfrac{1}{1-u} \), donde \( u \) es alguna expresión en \( x \).
2. Sustituir para obtener \( \sum_{n=0}^{\infty} u^n \).
3. Imponer la condición \( |u| < 1 \) y despejar el rango de valores de \( x \) que la satisface.

Estos pasos se apoyan directamente en las ideas de convergencia y divergencia de series infinitas, ya que una serie de potencias no es más que una familia de series infinitas, una por cada valor fijo de \( x \).

Un error frecuente es escribir la serie correctamente pero olvidar el intervalo de convergencia, presentando la igualdad como si fuera válida para todo \( x \). Otro error es confundir el signo dentro de la sustitución, por ejemplo escribir \( x^n \) en vez de \( (-1)^n x^n \) al trabajar con \( \dfrac{1}{1+x} \). Siempre conviene verificar el resultado sustituyendo un valor pequeño de \( x \), como \( x = 0.1 \), y comparando la suma de los primeros términos con el valor real de la función.

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