Criterio de la Divergencia

El criterio de la divergencia, también llamado prueba del término n-ésimo, es la primera comprobación que se hace al analizar una serie infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \). Es una prueba rápida y sencilla, pero tiene una limitación importante: solo sirve para demostrar divergencia, nunca convergencia. Antes de estudiarlo conviene tener claros los conceptos de series infinitas y de sus sumas parciales.

El criterio dice lo siguiente: si \( \lim_{n \to \infty} a_n \ne 0 \), o si ese límite simplemente no existe, entonces la serie \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) diverge.

Equivalentemente, para que una serie tenga alguna posibilidad de converger, es necesario (aunque no suficiente) que \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \). Si esa condición falla, puedes detener el análisis de inmediato: la serie diverge.

Supón que la serie converge a un valor \( S \). Entonces la sucesión de sumas parciales \( S_n \) también tiende a \( S \). Como cada término se puede escribir como \( a_n = S_n - S_{n-1} \), al tomar el límite obtenemos \( \lim_{n \to \infty} a_n = S - S = 0 \). Por contrarrecíproco, si el límite del término general no es cero, la serie no puede converger. Este razonamiento conecta directamente con lo que aprendiste sobre convergencia y divergencia de series infinitas.

Analiza la serie \( \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{n+1} \). El término general es \( a_n = \dfrac{n}{n+1} \), y su límite cuando \( n \to \infty \) es 1, ya que al dividir numerador y denominador entre \( n \) queda \( \dfrac{1}{1 + 1/n} \), que tiende a 1.

Como \( \lim_{n \to \infty} a_n = 1 \ne 0 \), el criterio de la divergencia garantiza que la serie diverge, sin necesidad de ninguna otra herramienta.

Considera ahora la serie armónica \( \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} \). Aquí \( \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 \), así que el criterio de la divergencia no puede aplicarse para sacar ninguna conclusión.

Sin embargo, se sabe (por otros métodos, como la prueba de la integral) que la serie armónica diverge. Este ejemplo clásico demuestra que un límite igual a cero nunca prueba convergencia, solo indica que el criterio de la divergencia queda sin efecto y hay que usar otra técnica.

Cuando \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), la serie puede converger o divergir, y el criterio simplemente no aporta información en ese caso. Debes recurrir entonces a una prueba adecuada al tipo de serie. Si se trata de una serie geométrica, existe una condición exacta en convergencia y divergencia de series geométricas; para otros tipos de series conviene revisar comparación, prueba de la integral o prueba de razón, según corresponda.

Al enfrentarte a una serie \( \sum a_n \), sigue este orden de ideas:

1. Calcula \( \lim_{n \to \infty} a_n \). Si es distinto de cero o no existe, la serie diverge y terminaste.

2. Si el límite es cero, el criterio de la divergencia no decide nada; continúa con otra prueba de convergencia según la forma de la serie.

Aplicar este primer filtro ahorra tiempo, porque muchas series se descartan de inmediato sin necesidad de técnicas más elaboradas.

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