Integral Definida

La integral definida de una funcion \(f(x)\) en un intervalo \([a, b]\) es un numero que representa el area con signo entre la curva \(y = f(x)\) y el eje \(x\), medida desde \(x = a\) hasta \(x = b\). Se escribe asi:

\( \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx \)

Los numeros \(a\) y \(b\) se llaman limites de integracion, \(f(x)\) es el integrando y \(dx\) indica la variable respecto a la cual se integra. A diferencia de la integral indefinida, la integral definida no produce una familia de funciones sino un valor numerico concreto.

La idea detras de la integral definida nace de aproximar el area bajo una curva con rectangulos. Si dividimos el intervalo \([a, b]\) en \(n\) subintervalos y sumamos el area de cada rectangulo, obtenemos una suma de Riemann. Cuando \(n\) tiende a infinito y el ancho de cada rectangulo tiende a cero, esa suma se aproxima cada vez mas al valor exacto del area:

\( \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x \)

Esta definicion como limite es la razon formal por la que la integral definida se interpreta como area, aunque en la practica casi nunca se calcula usando sumas infinitas.

Calcular sumas de Riemann para cada problema seria muy lento, por eso se usa el teorema fundamental del calculo. Este resultado conecta la integral definida con las antiderivadas: si \(F(x)\) es una antiderivada de \(f(x)\), entonces

\( \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) \)

Es decir, basta con encontrar una antiderivada de \(f(x)\), evaluarla en el limite superior \(b\), evaluarla en el limite inferior \(a\), y restar. Este mismo resultado se estudia con mas detalle en el teorema fundamental del calculo, donde se explica por que funciona esta formula.

Cuando \(f(x) \ge 0\) en todo el intervalo \([a, b]\), la integral definida coincide exactamente con el area entre la curva y el eje \(x\). Si la funcion es negativa en alguna parte del intervalo, esa region resta al valor total, por eso se habla de area con signo.

Calcula \( \displaystyle\int_{0}^{2} x^2\,dx \).

Primero se encuentra una antiderivada de \(x^2\), que es \(F(x) = \dfrac{x^3}{3}\). Despues se evalua en los dos limites de integracion y se resta:

\( \displaystyle\int_{0}^{2} x^2\,dx = F(2) - F(0) = \dfrac{2^3}{3} - \dfrac{0^3}{3} = \dfrac{8}{3} \)

El resultado, \(\dfrac{8}{3}\), es el area exacta bajo la parabola \(y = x^2\) entre \(x = 0\) y \(x = 2\), la misma region sombreada en la figura anterior.

Estas propiedades permiten simplificar muchos calculos antes de aplicar el teorema fundamental del calculo:

\( \displaystyle\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0 \)

\( \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = -\int_{b}^{a} f(x)\,dx \)

\( \displaystyle\int_{a}^{b} \big[f(x) + g(x)\big]\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{a}^{b} g(x)\,dx \)

\( \displaystyle\int_{a}^{b} k \cdot f(x)\,dx = k \int_{a}^{b} f(x)\,dx \)

Dominar estas reglas, junto con el calculo de antiderivadas, es la base para resolver casi cualquier problema de integrales definidas que aparezca en un curso de calculo.

Related lessons

• Es Calculus Help