Prueba de la Serie Alternante

Una serie alternante es una serie infinita cuyos términos cambian de signo de manera sucesiva, por ejemplo \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} b_n \), donde \( b_n > 0 \) para todo \( n \). La prueba de la serie alternante (también llamada criterio de Leibniz) ofrece un método sencillo para decidir si una serie de este tipo converge, sin necesidad de calcular la suma exacta.

Este criterio es especialmente útil porque muchas series que no convergen de forma "normal", como la serie armónica que se estudia en la lección de convergencia y divergencia de series infinitas, sí llegan a converger cuando sus signos se alternan.

Dada una serie de la forma \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} b_n \) o \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} b_n \), con \( b_n > 0 \), la serie converge si se cumplen estas dos condiciones:

1. La sucesión \( \{b_n\} \) es decreciente, es decir \( b_{n+1} \le b_n \) para todo \( n \) a partir de algún índice.
2. El límite de los términos tiende a cero: \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).

Si ambas condiciones se cumplen, la serie alternante converge. Antes de aplicar este criterio conviene repasar cómo se comportan las sucesiones monótonas y acotadas, ya que la condición de decrecimiento depende directamente de ese concepto.

Una ventaja adicional de este criterio es que permite acotar el error al aproximar la suma de la serie con una suma parcial. Si \( S \) es la suma exacta y \( S_n \) es la suma de los primeros \( n \) términos, entonces el error cumple \( |S - S_n| \le b_{n+1} \). Esto significa que el error nunca supera el valor absoluto del primer término que se deja fuera de la suma parcial, lo cual es muy útil para hacer aproximaciones con una precisión conocida.

Consideremos \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots \). Aquí \( b_n = \frac{1}{n} \).

• \( b_n > 0 \) para todo \( n \).
• \( b_n \) es decreciente porque \( \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} \).
• \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \).

Las tres condiciones se cumplen, así que la serie converge. Vale la pena notar que la serie armónica normal (sin alternar signos) diverge, mientras que esta versión alternante sí converge gracias al cambio de signo en cada término.

Consideremos \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{n}{n+1} \). Aquí \( b_n = \frac{n}{n+1} \).

Calculamos el límite: \( \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1 \ne 0 \). Como el límite no es cero, la tercera condición falla y la prueba de la serie alternante no permite concluir convergencia. De hecho, como el término general no tiende a cero, la serie diverge por el criterio del término general.

Un error frecuente es confundir la condición de decrecimiento con la condición del límite: ambas deben cumplirse, no basta con una sola. Otro error es aplicar el criterio a series que no son estrictamente alternantes, es decir, cuyos signos no cambian de forma regular en cada término. También es importante recordar que este criterio solo demuestra convergencia simple; para saber si la convergencia es absoluta hay que analizar \( \sum |b_n| \) por separado, comparando por ejemplo con las series geométricas.

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